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danjr5
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Material de apoio

em Seg 15 Mar 2010, 15:10
Olá Luiza(lulu),
Espero que isso possa ajudá-la:

Introdução às equações algébricas

Equações algébricas são equações nas quais a incógnita x está sujeita a operações algébricas como: adição, subtração, multiplicação, divisão e radiciação.
Exemplos:
ax + b = 0

ax² + bx + c = 0

ax^4 + bx² + c = 0

Exemplo: A equação 4x²+3x+2=0 tem o grau 2 e o coeficiente do termo dominante é 4. Neste caso, dizemos que esta é uma equação do segundo grau.


O fundamento usado para obter esta fórmula foi buscar uma forma de reduzir a equação do segundo grau a uma do primeiro grau, através da extração de raízes quadradas de ambos os membros da mesma.


Extraindo a raiz quadrada de cada membro da equação e lembrando que a raiz quadrada de todo número real não negativo é também não negativa, obteremos duas respostas para a nossa equação:

Como estamos procurando duas raízes para a equação do segundo grau, deveremos sempre escrever:
x' = (- b + √∆)/2a

ou

x" = (- b - √∆)/2a


A fórmula de Bhaskara ainda pode ser escrita como:
∆ = b² - 4ac

Equação do segundo grau

Uma equação do segundo grau na incógnita x é da forma:
ax² + bx + c = 0
onde os números reais a, b e c são os coeficientes da equação, sendo que a deve ser diferente de zero. Essa equação é também chamada de equação quadrática, pois o termo de maior grau está elevado ao quadrado.

Equação Completa do segundo grau
Uma equação do segundo grau é completa, se todos os coeficientes a, b e c são diferentes de zero.
Exemplos:
2x² + 7x + 5 = 0

3x² + x + 2 = 0

Equação incompleta do segundo grau
Uma equação do segundo grau é incompleta se b = 0 ou c = 0 ou b = c = 0. Na equação incompleta o coeficiente a é diferente de zero.
Exemplos:
4 x² + 6x = 0

3 x² + 9 = 0

2 x² = 0


Resolução de equações incompletas do 2o. grau
Equações do tipo ax²=0: Basta dividir toda a equação por a para obter:
x² = 0
significando que a equação possui duas raízes iguais a zero.

Equações do tipo ax²+c=0: Novamente dividimos toda a equação por a e passamos o termo constante para o segundo membro para obter:
x² = -c/a

Se -c/a for negativo, não existe solução no conjunto dos números reais.
Se -c/a for positivo, a equação terá duas raízes com o mesmo valor absoluto (módulo) mas de sinais contrários.


Equações do tipo ax²+bx=0: Neste caso, fatoramos a equação para obter:
x (ax + b) = 0
e a equação terá duas raízes:
x' = 0 ou x" = -b/a


Exemplos gerais
4x² = 0 tem duas raízes nulas.

4x² - 8 = 0 tem duas raízes: x' = √2, x" = -√2

4x² + 5 = 0 não tem raízes reais.

4x² - 12x = 0 tem duas raízes reais: x' = 3, x" = 0


Resolução de equações completas do 2o. grau
Como vimos, uma equação do tipo: ax² + bx + c = 0, é uma equação completa do segundo grau e para resolvê-la basta usar a fórmula quadrática (atribuída a Bhaskara), que pode ser escrita na forma:
onde ∆ = b² - 4ac é o discriminante da equação.

Para esse discriminante ∆ há três possíveis situações:
Se ∆ < 0, não há solução real, pois não existe raiz quadrada real de número negativo.

Se ∆ = 0, há duas soluções iguais:
x' = x" = -b/2a

Se ∆ > 0, há duas soluções reais e diferentes:
x' = (-b + √∆)/2a
x" = (-b - √∆)/2a

Como usar a fórmula de Bhaskara para resolver a equação:
x² - 5x + 6 = 0
Identificar os coeficientes: a = 1, b = - 5, c = 6

Escrever o discriminante ∆ = b² - 4ac.

Calcular ∆ = (-5)² - 4 *1 *6
∆ = 25 - 24
∆ = 1

Escrever a fórmula de Bhaskara:
Substituir os valores dos coeficientes a, b e c na fórmula:
x' = (5 + √1) =======> (5 + 1)/2 = 3

x" = (5 - √1) =======> (5 - 1)/2 = 2


Espero ter ajudado de alguma forma.

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"Sabedoria é saber o que fazer;
habilidade é saber como fazer;
virtude é fazer."
(David S. Jordan)
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