quadrado pefeito e m.d.c

Bom dia!!!

Por favor,como que eu resolvo esse problema?

A diferença de dois números multiplicada pela diferença de seus quadrados é 81920 e o m.d.c desses números é 8.Quais são esses números?

obrigado.

lineu48m escreveu:Bom dia!!!

Por favor,como que eu resolvo esse problema?

A diferença de dois números multiplicada pela diferença de seus quadrados é 81920 e o m.d.c desses números é 8.Quais são esses números?

obrigado.

Boa noite, Lineu.

x,y = os dois números
D = m.d.c. desses números
p,q = os quocientes de cada número pelo m.d.c.

(x - y)(x² - y²) = 81920
D = 8

(x - y)(x + y)(x - y) = 81920
(x - y)² * (x + y) = 81920 ........ (i)

x/8 = p → x = 8*p ................ (ii)
y/8 = q → y = 8*q ................ (iii)

Substituiremos, em (i), "x" e "y" por seus valores acima:
(8p - 8q)² * (8p + 8q) = 81920
[8(p - q)]² * 8(p + q) = 81920
64(p - q)² * 8(p + q) = 81920
512 * (p - q)² * (p + q) = 81920

(p-q)² * (p+q) = 81920/512 = 160 → notar que o primeiro fator é um quadrado, o qual deveremos extrair do produto 160

160 = 2^5 * 5 = 2^4 * 2 * 5 → do fator quadrado 2^4, podemos extrair [para igualar ao (p-q)²]: 2² e 4² (ambos).

Temos, então:
(p-q)² = 2²ou 4²
(p+q) = 40 ou 10 → (resultantes da divisão de 160 por 2² e por 4²)

Destas duas últimas, tiramos:
p-q = 2 ou 4 ............. (iv)
p+q = 40 ou 10 ......... (v)

(iv) + (v) :
2p = 42 ou 14
p = 21 ou 7

-(iv) + (v) :
2q = 38 ou 6
q = 19 ou 3

Temos, portanto, duas soluções para (p-q)² * (p+q) = 160:
(21-19)² * (21+19) = 160 → 2² * 40 = 4 * 40 = 160
(7-3)² * (7+3) = 160 → 4² * 10 = 16 * 10 = 160

Aplicando estes valores encontrados para "p" e "q" às fórmulas de "x" e "y", temos:
x = 8*p
x' = 8*p' = 8*21 = 168
x" = 8*p" = 8*7 = 56

y = 8*q
y' = 8*q' = 8*19 = 152
y" = 8*q"= 8*3 = 24

Duas soluções possíveis:
x' = 168 ; y' = 152
x" = 56 ; y" = 24


Conferindo:
(x - y)(x² - y²) = 81920
(168 - 152)(168² - 152²) = 16 * 16 * 320 = 81920
(56 - 24)(56² - 24²) = 32 * 32 * 80 = 81920

mdc(168,152) = 8
mdc(56,24) = 8





Um abraço.