Grupo Abeliano: x * y = x + y - 10

Mostre que o grupóide $\left ( \mathbb{Z}, \ast \right )$ munido da operação $\math{x \ast y = x + y - 10}$ é um grupo Abeliano.

DanielFerreira escreveu:Mostre que o grupóide $\left ( \mathbb{Z}, \ast \right )$ munido da operação $\math{x \ast y = x + y - 10}$ é um grupo Abeliano.

$\\ \mathsf{ \qquad Sabemos ~ da ~ definic\~ao ~ de ~ GRUPOS ~ que, ~ o ~ conjunto ~ \mathbb{Z} ~ \acute{e} ~ um ~ grupo ~ em ~ relac\~ao ~\grave{a}} \\ \mathsf{operac\~ao \ast ~ se ~ as ~ propriedades ~ (associativa, ~elemento ~ neutro ~ e ~ elemento ~ sim\acute{e}trico) ~ abaixo ~s\~ao ~ satisfeitas. ~ Segue,} \\\\ \bullet \mathsf{Associativa: ~ (x \ast y) \ast z = x \ast (y \ast z), \forall x, y, z \in \mathbb{Z};} \\\\ \mathsf{(x \ast y) \ast z = (x + y - 10) \ast z} \\ \mathsf{(x \ast y) \ast z = (x + y - 10) + z - 10} \\ \mathsf{(x \ast y) \ast z = x + (y + z - 10) - 10} \\ \mathsf{(x \ast y) \ast z = x + (y \ast z) - 10} \\ \mathsf{(x \ast y) \ast z = x \ast (y \ast z)} \qquad \qquad \ \blacksquare$

$\\ \bullet \mathsf{Elemento ~ neutro: ~ \exists e \in \mathbb{Z} ~ tal ~ que ~ x \ast e = e \ast x = x, ~ onde ~ x \in \mathbb{Z};} \\\\ \mathsf{rascunho \rightarrow \begin{cases} \mathsf{x \ast e = x \Rightarrow x + e - 10 = x \Rightarrow \boxed{\mathsf{e = 10}}} \\ \mathsf{e \ast x = x \Rightarrow e + x - 10 = x \Rightarrow \boxed{\mathsf{e = 10}}}\end{cases}} \\\\ \mathsf{i) ~ elemento ~ neutro ~ \grave{a} ~ direita:} \\ \mathsf{ \\ x \ast e = x} \\ \mathsf{x \ast 10 = x} \\ \mathsf{x + 10 - 10 = x} \\ \mathsf{x = x}$

$\\ \mathsf{ii) ~ elemento ~ neutro ~ \grave{a} ~ esquerda:} \\ \mathsf{ \\ e \ast x = x} \\ \mathsf{10 \ast x = x} \\ \mathsf{10 + x - 10 = x} \\ \mathsf{x = x}$

$\\ \bullet \mathsf{Elemento ~ sim\acute{e}trico: ~ \forall x \in \mathbb{Z}, \exists x' \in \mathbb{Z} ~ tal ~ que ~ x \ast x' = x' \ast x = e.} \\\\ \mathsf{rascunho} \rightarrow \begin{cases} \mathsf{x \ast x' = e \Rightarrow x \ast x' = 10 \Rightarrow x + x' - 10 = 10 \Rightarrow \boxed{\mathsf{x' = - (x - 20)}}} \\ \mathsf{x' \ast x = e \Rightarrow x' \ast x = 10 \Rightarrow x' + x - 10 = 10 \Rightarrow \boxed{\mathsf{x' = - (x - 20)}}}\end{cases}\\\\ \mathsf{i) ~ elemento ~ sim\acute{e}trico ~a ~ direita:} \\\\ \mathsf{x \ast x' = e} \\ \mathsf{x \ast (- x + 20) = 10} \\ \mathsf{x + (- x + 20) - 10 = 10} \\ \mathsf{x - x + 20 - 10 = 10} \\ \mathsf{10 = 10}$

$\\ \mathsf{i) ~ elemento ~ sim\acute{e}trico ~a ~ esquerda:} \\\\ \mathsf{x' \ast x = e} \\ \mathsf{(- x + 20) \ast x = 10} \\ \mathsf{(- x + 20) + x - 10 = 10} \\ \mathsf{- x + 20 + x - 10 = 10} \\ \mathsf{10 = 10}$

$\\ \mathsf{\quad At\acute{e} ~ aqui ~ provamos ~ que ~ o ~ grup\acute{o}ide ~ em ~ quest\~ao ~ \acute{e} ~ um ~ grupo, ~ todavia, ~ o ~ exerc\acute{i}cio ~ pede ~ que ~ provemos ~ que ~ ele} \\ \mathsf{\acute{e} ~ um ~ grupo ~ Abeliano. ~ Um ~ grupo ~ \acute{e} ~ dito ~ Abeliano ~ quando ~ tem ~ as ~ propriedades ~ acima ~ satisfeitas ~ e ~ a ~ propriedade} \\ \mathsf{COMUTATIVA. ~ Desse ~ modo, ~ temos ~ que:} \\\\ \bullet \mathsf{Comutativa: ~ \forall x, y \in \mathbb{Z}, ~ temos ~ que ~ x \ast y = y \ast x.} \\\\ \mathsf{x \ast y = x + y - 10} \\ \mathsf{x \ast y = y + x - 10} \\ \mathsf{x \ast y = y \ast x \qquad \qquad \blacksquare}$

$\\ \mathsf{\quad Ent\~ao, ~ j\acute{a} ~ que ~ todas ~ as ~ propriedades ~ foram ~ satisfeitas, ~ podemos ~ concluir ~ que, ~ de ~ fato,} \\ \mathsf{o ~ grup\acute{o}ide ~ \left ( \mathbb{Z}, \ast \right ) ~ munido ~ da ~ operac\~ao ~ x \ast y = x + y - 10 ~ \acute{e} ~ um ~ GRUPO ~ ABELIANO.}$

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