Material de apoio - Equações Diferenciais

Definição


Uma equação que contém as derivadas ou diferenciais de uma ou mais variáveis dependentes, em relação a uma ou mais variáveis independentes, é chamada de equação diferencial.

Equações diferenciais são classificadas de com acordo com: tipo, ordem e linearidade.

Quanto ao tipo: se uma equação contém somente derivadas ordinárias de uma ou mais variáveis dependentes, com relação a uma única variável dependente, ela é chamada de Equação Diferencial Ordinária (EDO). Tomemos como exemplo:



Uma equação que envolve as derivadas parciais de uma ou mais variáveis dependentes de duas ou mais variáveis independentes é chamada de Equação Diferencial Pparcial (EDP). Tomemos como exemplo:




Quanto a ordem: a ordem da derivada de maior ordem em uma equação diferencial é, por definição, a ordem da equação, por exemplo:



É uma EDO de segunda ordem.


Quanto a linearidade: uma equação diferencial é chamada linear quando pode ser escrita na forma:



Observe que as equações diferenciais lineares são caracterizadas por duas propriedades:

i) A variável dependente e todas as suas derivadas são do primeiro grau; isto é, a potência de cada termo envolvendo é ;

ii) Cada coeficiente depende apenas da variável independente .

Vejamos alguns exemplos:



Uma equação que não é linear é chamada de não-linear. Veja:



São equações diferenciais ordinárias não-lineares de segunda e terceira ordem, respectivamente.

Definição


Qualquer função definida em algum intervalo que, quando substituída na equação diferencial, reduz a equação a uma identidade, é chamada solução para a equação no intervalo.



EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS


Definição


Se uma função satisfaz para algum número real , então dizemos que é uma função homogênea de grau .


Definição 2


Uma equação diferencial da forma é chamada de homogênea se ambos os coeficientes e são funções homogêneas do mesmo grau.

Noutras palavras, é homogênea se e .

Método de solução:


Uma equação diferencial pode ser resolvida por meio de uma substituição algébrica. Tomamos ou , onde e são as novas variáveis independentes, transformará a equação em uma equação diferencial de primeira ordem separável. Verificamos isso derivando uma das equações; tomemos como exemplo cuja diferencial é dada por .

Segue,





EQUAÇÕES EXATAS


Definição


Uma expressão diferencial é uma diferencial exata em uma região do plano se ela corresponde à diferencial total de alguma função . Uma equação diferencial da forma é chamada equação exata se a expressão do lado esquerdo é uma diferencial exata.


Teorema


Sejam e funções contínuas com derivadas parciais contínuas em uma região retangular definida por , . Então, uma condição necessária e suficiente para que seja uma diferencial exata é:





EQUAÇÕES LINEARES


No início do estudo de equações diferenciais vimos que:



É uma equação diferencial de ordem .


Definição


Uma equação diferencial da forma

É chamada de equação linear.

Dividindo a equação pelo coeficiente , teremos:



Onde e são contínuas.



FATOR DE INTEGRAÇÃO


Quando uma equação não é exata, ou seja, quando , podemos encontrar uma função que multiplicada à equação faz com que ela se torne exata. Tal função é denominada como fator integrante.



Método de solução:


- inicialmente, devemos colocar a equação na forma: ;

- identifique e encontre o fator de integração ;

- multiplique a equação pelo fator de integração: ;

- note que o lado esquerdo da equação acima é a derivada do fator de integração e a variável dependente : ;

- por fim, integre ambos os lados...



EQUAÇÃO DE BERNOULLI


A equação diferencial , em que é um número real qualquer é chamada de equação de Bernoulli.

Para e , a equação acima é linear em . Mas, se , a equação pode ser escrita como .

Se fizermos , , , então .

Com essa substituição, transforma-se na equação linear .


Referência bibliográfica: ZILL, Dennis; CULLEN, Michael. Equações Diferenciais, vol 1, 3º ed. São Paulo: Pearson Makron Books, 2001. Tradução: Antônio Zumpano