Iteração simples: x² - 5x + 4

Dom 29 Jan 2017, 01:48

Determine por iterações simples uma raiz para a equação $\mathbf{x^2 - 5x + 4 = 0}$ .

Dom 29 Jan 2017, 02:33

DanielFerreira escreveu:Determine por iterações simples uma raiz para a equação $\mathbf{x^2 - 5x + 4 = 0}$ .

Inicialmente, encontramos $\mathsf{g(x)}$ isolando $\mathsf{x}$ , segue:

$\\ \mathsf{x^2 - 5x + 4 = 0} \\\\ \mathsf{5x = x^2 + 4} \\\\ \mathsf{x = \frac{x^2}{5} + \frac{4}{5}} \\\\ \boxed{\mathsf{g(x) = \frac{x^2}{5} + \frac{4}{5}}}$

Da fórmula de iteração, $\\ \mathsf{x_{i + 1} = g(x_1)}$ . Então, $\\ \mathsf{x_{i + 1} = \dfrac{x_i^2}{4} + \frac{4}{5}, \ i = 0, 1, 2,..., n}$ .

Arbitrando um valor... $\\ \mathsf{x_o = 2}$ . Por conseguinte, devemos verificar se $\\ \mathsf{x_o = 2}$ atende à condição de convergência.

$\\ \mathsf{\left | g'(x_o) \right | < 1} \\\\ \mathsf{\left | g'(x_o = 2) \right | < 1} \\\\ \mathsf{\left | \frac{2}{5} \cdot 2 \right | < 1} \\\\ \mathsf{\frac{4}{5} < 1 \qquad \qquad (true)}$

Ora, já que a condição foi satisfeita segue as iterações:

$\\ \mathsf{x_{i + 1} = \frac{x_i^2}{5} + \frac{4}{5}} \\\\ \mathsf{x_{0 + 1} = \frac{x_0^2}{5} + \frac{4}{5} \Rightarrow x_1 = \frac{2^2}{5} + \frac{4}{5} \Rightarrow \boxed{\mathsf{x_1 = 1,6}}} \\\\ \mathsf{x_{1 + 1} = \frac{x_1^2}{5} + \frac{4}{5} \Rightarrow x_2 = \frac{(1,6)^2}{5} + \frac{4}{5} \Rightarrow \boxed{\mathsf{x_2 = 1,312}}} \\\\ \mathsf{x_{2 + 1} = \frac{x_2^2}{5} + \frac{4}{5} \Rightarrow x_3 = \frac{(1,312)^2}{5} + \frac{4}{5} \Rightarrow \boxed{\mathsf{x_3 = 1,1442}}} \\\\ \mathsf{x_{3 + 1} = \frac{x_3^2}{5} + \frac{4}{5} \Rightarrow x_4 = \frac{(1,1442)^2}{5} + \frac{4}{5} \Rightarrow \boxed{\mathsf{x_4 = 1,0618}}}$

$\\ \mathsf{x_{4 + 1} = \frac{x_4^2}{5} + \frac{4}{5} \Rightarrow x_5 = \frac{(1,0618)^2}{5} + \frac{4}{5} \Rightarrow \boxed{\mathsf{x_5 = 1,0254}}} \\\\ \vdots \\\\ \mathsf{\overline{x} = 1} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \blacksquare$

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