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DanielFerreira
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[Combinatória] Quantidade de dígitos maiores que 2400

em Sab 07 Jul 2018, 21:57
Amodar escreveu:Quantos números de quatro dígitos são maiores que 2400 e têm todos os dígitos diferentes?
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danjr5
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Re: [Combinatória] Quantidade de dígitos maiores que 2400

em Sab 07 Jul 2018, 22:19
RESOLUÇÃO I:

Nesta resolução, separei o desenvolvimento em três partes: na primeira parte, contei a quantidade de números que começam com os dígitos 2 e 4, nessa ordem; por conseguinte, na segunda parte, determinei a quantidade de números maiores que 2.500; e, por fim, os números maiores que 3.000. Veja:

Sejam p1, p2, p3 e p4 as posições dos algarismos. Assim:


Parte 1: maiores que 2.400 e menores que 2.500.

Decisão 1 (d1): colocar o algarismo 2 em p1; n(d1) = 1.
Decisão 2 (d2): colocar o algarismo 4 em p2; n(d2) = 1.
Decisão 3 (d3): escolher um algarismo para p3 diferente dos escolhidos em d1 e d2; n(d3) = 8.
Decisão 4 (d4): escolher um algarismo para p4 diferente dos escolhidos em d1, d2, e d3; n(d4) = 7.

Obs.: n(d1), n(d2), n(d3) e n(d4) correspondem a quantidade de possibilidades...


Assim, pelo Princípio Fundamental da Contagem, teremos:




Parte 2: maiores que 2.500 e menores que 3.000.

Decisão 1 (d1): colocar o algarismo 2 em p1; n(d1) = 1.
Decisão 2 (d2): escolher um algarismo maior que 4 para p2; n(d2) = 5 {são eles: 5, 6, 7, 8 e 9}.
Decisão 3 (d3): escolher um algarismo para p3 diferente dos escolhidos em d1 e d2; n(d3) = 8.
Decisão 4 (d4): escolher um algarismo para p4 diferente dos escolhidos em d1, d2, e d3; n(d4) = 7.


Daí, pelo PFC:




Parte 3: maiores que 3.000.

Decisão 1 (d1): escolher um algarismo maior que 2 para p1; n(d1) = 7 {são eles: 3, 4, 5, 6, ,7 ,8 e 9}.
Decisão 2 (d2): escolher um algarismo para p2 diferente do escolhido em d1; n(d2) = {considere o zero, também}.
Decisão 3 (d3): escolher um algarismo para p3 diferente dos escolhidos em d1 e d2; n(d3) = 8.
Decisão 4 (d4): escolher um algarismo para p4 diferente dos escolhidos em d1, d2, e d3; n(d4) = 7.


Portanto,





Logo, pelo princípio aditivo,




Espero ter ajudado!!

Bons estudos!

Att,

Daniel Ferreira

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virtude é fazer."
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Re: [Combinatória] Quantidade de dígitos maiores que 2400

em Sab 07 Jul 2018, 22:48
DanielFerreira escreveu:
Amodar escreveu:Quantos números de quatro dígitos são maiores que 2400 e têm todos os dígitos diferentes?

RESOLUÇÃO II:

Nesta resolução, determinei a quantidade total de números distintos com quatro dígitos e subtraí da quantidade de números distintos menores que 2400...

Determinemos a quantidade total...: para isso, considere p1, p2, p3 e p4 as posições do número!

Decisão 1 (d1): escolher um algarismo para p1 diferente de zero; n(d1) = 9.
Decisão 2 (d2): escolher um algarismo para p2 diferente do escolhido em d1; n(d2) = 9 {o zero deve ser considerado}.
Decisão 3 (d3): escolher um algarismo para p3 diferente dos escolhidos em d1 e d2; n(d3) = 8.
Decisão 4 (d4): escolher um algarismo para p4 diferente dos escolhidos em d1, d2 e d3; n(d4) = 7.

De acordo com o PFC,




Ademais, devemos encontrar a quantidade de números com quatro algarismos distintos menores que 2.400. Segue,

- Começando com UM:

Decisão 1 (d1): colocar o algarismo 1 em p1; n(d1) = 1.
Decisão 2 (d2): escolher um algarismo para p2 diferente do escolhido em d1; n(d2) = 9.
Decisão 3 (d3): escolher um algarismo para p3 diferente dos escolhidos em d1 e d2; n(d3) = 8.
Decisão 4 (d4): escolher um algarismo para p4 diferente dos escolhidos em d1, d2 e d3; n(d4) = 7.

Pelo PFC,




- Começando com DOIS:

Decisão 1 (d1): colocar o algarismo 2 em p1; n(d1) = 1.
Decisão 2 (d2): escolher um algarismo para p2 menor que 4 e diferente do escolhido em d1; n(d2) = 3 {são eles: 0, 1, 3}.
Decisão 3 (d3): escolher um algarismo para p3 diferente dos escolhidos em d1 e d2; n(d3) = 8.
Decisão 4 (d4): escolher um algarismo para p4 diferente dos escolhidos em d1, d2 e d3; n(d4) = 7.

PFC,




Logo,


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Re: [Combinatória] Quantidade de dígitos maiores que 2400

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