Erro relativo - multiplicação

Verifique se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa:

$\mathrm{Sejam \ \underline{a} \ e \ \underline{b} \ dois \ operandos, \ cujos \ valores \ \dot{a} \ e \ \dot{b} \ s\~ao \ providos \ de \ erros \ \varepsilon_a \ e \ \varepsilon_b, \ respectivamente.}$

$\\ \text{Ent\~ao,} \ \mathbf{Erro_{rel} \left ( a \ast b \right ) \approx \frac{\varepsilon_b}{b} + \frac{\varepsilon_a}{a}.}$

Uma vez que o enunciado não definiu * (asterisco), parece-me que será necessário descobrir/determinar se os elementos "a" e "b" estão sendo operados na soma, na multiplicação, na subtração ou na divisão. Vejamos:

Antes de iniciarmos as verificações, é relevante lembrarmos que:

$\\ \displaystyle \mathsf{Erro} \ \begin{cases} \mathsf{Absoluto: |\bar{x}| - |x|} \\\\ \mathsf{Relativo: \frac{|\bar{x}| - |x|}{|x|}} \end{cases} \\\\\\ \mathsf{Onde} \\\\ \mathsf{\bullet \ \bar{x} \ \text{\'e} \ o \ valor \ calculado;} \\\\ \mathsf{\bullet \ x \ \text{\'e} \ o \ valor \ verdadeiro.}$

Isto posto, segue que,

Erro relativo - SOMA:

$\\ \mathsf{\varepsilon \left ( a + b \right ) = \frac{erro \ calculado - \ erro \ verdadeiro}{erro \ verdadeiro}} \\\\\\ \mathsf{\varepsilon \left ( a + b \right ) = \frac{(\overline{a + b}) - (a + b)}{(a + b)}} \\\\\\ \mathsf{\varepsilon \left ( a + b \right ) = \frac{\bar{a} + \bar{b} - a - b}{a + b}}$

$\\ \mathsf{\varepsilon \left ( a + b \right ) = \frac{({\bar{a} - a}) + (\bar{b} - b)}{a + b}, \qquad vale \ lembrar \ que \ \varepsilon_a = \bar{a} - a} \\\\\\ \mathsf{\varepsilon \left ( a + b \right ) = \frac{\varepsilon_a + \varepsilon_b}{a + b}} \\\\\\ \boxed{\mathsf{\varepsilon \left ( a + b \right ) = \frac{\varepsilon_a}{a + b} + \frac{\varepsilon_b}{a + b}}}$

Note que fórmula que acabamos de concluir não corresponde à fórmula dada no enunciado, então podemos tirar que * não é o operador SOMA.

Erro relativo - MULTIPLICAÇÃO:

$\\ \mathsf{\varepsilon \left ( a \cdot b \right ) = \frac{\overline{a \cdot b} - a \cdot b}{a \cdot b}} \\\\\\ \mathsf{\varepsilon \left ( a \cdot b \right ) = \frac{\bar{a} \cdot \bar{b} - a \cdot b}{a \cdot b}} \\\\ \textsf{Fa\c{c}amos desaparecer a barra nos elementos 'a' e 'b' da seguinte forma:} \\\\ \mathsf{\varepsilon_a = \bar{a} - a \Rightarrow \bar{a} = \varepsilon_a + a}$

Por conseguinte,

$\\ \mathsf{\varepsilon \left ( a \cdot b \right ) = \frac{\left ( \varepsilon_a + a \right ) \cdot \left ( \varepsilon_b + b \right ) - a \cdot b}{a \cdot b}} \\\\\\ \mathsf{\varepsilon \left ( a \cdot b \right ) = \frac{\varepsilon_a \cdot \varepsilon_b + \varepsilon_a \cdot b + a \cdot \varepsilon_b + a \cdot b - a \cdot b}{a \cdot b}} \\\\\\ \mathsf{\varepsilon \left ( a \cdot b \right ) = \frac{\varepsilon_a \cdot \varepsilon_b + \varepsilon_a \cdot b + a \cdot \varepsilon_b}{a \cdot b}}$

$\\ \mathsf{Mas, \ \boxed{\mathsf{\varepsilon_a \cdot \varepsilon_b \approx 0}}.} \ \textsf{Ent\~ao,} \\\\ \mathsf{\varepsilon \left ( a \cdot b \right ) \approx \frac{0 + \varepsilon_a \cdot b + a \cdot \varepsilon_b}{a \cdot b}} \\\\\\ \mathsf{\varepsilon \left ( a \cdot b \right ) \approx \frac{\varepsilon_a \cdot b}{a \cdot b} + \frac{a \cdot \varepsilon_b}{a \cdot b}} \\\\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{\varepsilon \left ( a \cdot b \right ) \approx \frac{\varepsilon_a}{a} + \frac{\varepsilon_b}{b}}}}$

Ora, como podemos notar, * está representando a multiplicação. Logo, a afirmação é verdadeira!!

Erro relativo - multiplicação

Erro relativo - multiplicação

Re: Erro relativo - multiplicação