MATEMÁTICA MANIA
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[CN/2016] Polinômio ax^k + 2x² - t Empty [CN/2016] Polinômio ax^k + 2x² - t

Sáb 25 Mar 2017, 20:35
Dado o polinômio gif.latex?\mathbf{ax^k&space;&plus;&space;2x^2&space;-&space;t}, com gif.latex?\mathbf{(a,&space;k,&space;t)&space;\in&space;\mathbb{N},&space;\&space;a&space;<&space;k} e sabendo que gif.latex?\mathbf{P(1)&space;=&space;0,&space;P(-&space;2)&space;=&space;51}, determine a soma dos algarismos do número gif.latex?\mathbf{w&space;=&space;t^{15}&space;\cdot&space;(a&space;-&space;1)^{20}} e, a seguir, assinale a opção correta:

a) 20
b) 15
c) 10
d) 8
e) 5


Última edição por Prof. Daniel Ferreira em Dom 02 Jan 2022, 20:59, editado 1 vez(es) (Motivo da edição : Corrigir a expressão de 'w')
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[CN/2016] Polinômio ax^k + 2x² - t Empty Re: [CN/2016] Polinômio ax^k + 2x² - t

Dom 02 Jan 2022, 21:38
Questão escreveu:Dado o polinômio gif.latex?\mathbf{ax^k&space;&plus;&space;2x^2&space;-&space;t}, com gif.latex?\mathbf{(a,&space;k,&space;t)&space;\in&space;\mathbb{N},&space;\&space;a&space;<&space;k} e sabendo que gif.latex?\mathbf{P(1)&space;=&space;0,&space;P(-&space;2)&space;=&space;51}, determine a soma dos algarismos do número gif.latex?\mathbf{w&space;=&space;t^{15}&space;\cdot&space;(a&space;-&space;1)^{20}} e, a seguir, assinale a opção correta:

a) 20
b) 15
c) 10
d) 8
e) 5

De acordo com o enunciado,

svg.image?\\&space;\mathtt{P(x)&space;=&space;ax^k&space;&plus;&space;2x^2&space;-&space;t}&space;\\\\&space;\begin{cases}&space;\mathtt{P(1)&space;=&space;a&space;&plus;&space;2&space;-&space;t}&space;\\&space;\mathtt{P(-&space;2)&space;=&space;a&space;\cdot&space;(-&space;2)^k&space;&plus;&space;8&space;-&space;t}\end{cases}

svg.image?\\&space;\begin{cases}&space;\mathtt{a&space;&plus;&space;2&space;-&space;t&space;=&space;0}&space;\\&space;\mathtt{a&space;\cdot&space;(-&space;2)^k&space;&plus;&space;8&space;-&space;t&space;=&space;51}&space;\end{cases}

svg.image?\\&space;\begin{cases}&space;\mathtt{a&space;&plus;&space;2&space;=&space;t&space;\qquad&space;\qquad&space;\qquad&space;(i)}&space;\\&space;\mathtt{a&space;\cdot&space;(-&space;2)^k&space;-&space;t&space;=&space;43&space;\quad&space;\quad&space;(ii)}&space;\end{cases}

Substituindo (i) em (ii),

svg.image?\\&space;\mathtt{a&space;\cdot&space;(-&space;2)^k&space;-&space;(a&space;&plus;&space;2)&space;=&space;43}&space;\\&space;\mathtt{a&space;\cdot&space;(-&space;2)^k&space;-&space;a&space;=&space;45}&space;\\&space;\mathtt{a&space;\cdot&space;\left&space;[&space;(-&space;2)^k&space;-&space;1&space;\right&space;]&space;=&space;45}

Considerando que os divisores positivos de 45 são: svg.image?\mathtt{D(45)&space;=&space;\left&space;\{&space;1,&space;3,&space;5,&space;9,&space;15,&space;45&space;\right&space;\}} e que a < k implica, também, a menor que svg.image?\mathtt{(-&space;2)^k&space;-&space;1,&space;\forall&space;a,&space;k&space;\in&space;\mathbb{N}}. Posto isto, temos que: svg.image?\mathtt{a&space;=&space;1},&space;\mathtt{a&space;=&space;3}&space;\&space;\texttt{ou}&space;\&space;\mathtt{a&space;=&space;5}&space;

- Quando a = 1:

svg.image?\\&space;\mathtt{a&space;\cdot&space;\left&space;[&space;(-&space;2)^k&space;-&space;1&space;\right&space;]&space;=&space;45}&space;\\&space;\mathtt{(-&space;2)^k&space;-&space;1&space;=&space;45}&space;\\&space;\mathtt{(-&space;2)^k&space;=&space;46,&space;\qquad&space;\qquad&space;k&space;\notin&space;\mathbb{N}}


- Quando a = 3:

svg.image?\\&space;\mathtt{a&space;\cdot&space;\left&space;[&space;(-&space;2)^k&space;-&space;1&space;\right&space;]&space;=&space;45}&space;\\\\&space;\mathtt{(-&space;2)^k&space;-&space;1&space;=&space;\frac{45}{3}}&space;\\\\&space;\mathtt{(-&space;2)^k&space;=&space;16}&space;\\\\&space;\mathtt{(-&space;2)^k&space;=&space;(-&space;2)^4}&space;\\\\&space;\boxed{\mathtt{k&space;=&space;4,&space;\qquad&space;\qquad&space;k&space;\in&space;\mathbb{N}}

Com efeito, da equação (i):

svg.image?\\&space;\mathtt{a&space;&plus;&space;2&space;=&space;t}&space;\\&space;\mathtt{3&space;&plus;&space;2&space;=&space;t}&space;\\&space;\boxed{\mathtt{t&space;=&space;5}}

Por fim,

svg.image?\\&space;\mathtt{t^{15}&space;\cdot&space;(a&space;-&space;1)^{20}}&space;\\\\&space;\mathtt{w&space;=&space;5^{15}&space;\cdot&space;(3&space;-&space;1)^{20}}&space;\\\\&space;\mathtt{w&space;=&space;5^{15}&space;\cdot&space;2^{20}}&space;\\\\&space;\mathtt{w&space;=&space;5^{15}&space;\cdot&space;2^{15}&space;\cdot&space;2^5}&space;\\\\&space;\mathtt{w&space;=&space;(5&space;\cdot&space;2)^{15}&space;\cdot&space;2^5}&space;\\\\&space;\boxed{\boxed{\mathtt{w&space;=&space;32&space;\cdot&space;10^{15}}}}

Isto é, 3200...000!!!
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