Trabalho de uma força

Qua 27 Jun 2018, 18:23

Uma partícula de massa m se move ao longo do eixo x. Sua posição varia com o tempo de acordo com a equação x = 2t³ - 4t², sendo x expresso em metros e t em segundos. Determine (a) a velocidade e a aceleração da partícula em um tempo qualquer t. (b) A potência fornecida à partícula em qualquer tempo t. (c) O trabalho realizado pela força de t = 0 até t = t1.

Qua 27 Jun 2018, 20:50

DanielFerreira escreveu:Uma partícula de massa m se move ao longo do eixo x. Sua posição varia com o tempo de acordo com a equação x = 2t³ - 4t², sendo x expresso em metros e t em segundos. Determine (a) a velocidade e a aceleração da partícula em um tempo qualquer t.

Velocidade: derivada primeira.

$\\ \mathsf{x = 2t^3 - 4t^2} \\\\ \mathsf{dx = (6t^2 - 8t) \ dt} \\\\ \mathsf{\frac{dx}{dt} = 6t^2 - 8t} \\\\ \boxed{\mathsf{v(t) = 6t^2 - 8t}}$

Aceleração: derivada segunda

$\\ \mathsf{x = 2t^3 - 4t^2} \\\\ \mathsf{\frac{dx}{dt} = 6t^2 - 8t} \\\\\\ \mathsf{\frac{d^2x}{dt^2} = 12t - 8} \\\\ \boxed{\mathsf{a(t) = 12t - 8}}$

Qua 27 Jun 2018, 21:01

DanielFerreira escreveu:(b) A potência fornecida à partícula em qualquer tempo t.

Da definição de potência, temos que:

$\\ \mathsf{P = \overrightarrow{\mathsf{F}} \cdot \overrightarrow{\mathsf{v}}} \\\\ \mathsf{P = (ma) \cdot v} \\\\ \mathsf{P = m \cdot (12t - 8 ) \cdot (6t^2 - 8t)} \\\\ \mathsf{P = m \cdot 4t \cdot 2 \cdot (3t - 2) \cdot (3t - 4)} \\\\ \mathsf{P = 8mt(9t^2 - 12t - 6t + 8 )} \\\\ \boxed{\mathsf{P = 8mt(9t^2 - 18t + 8 )}}$

Qua 27 Jun 2018, 21:20

DanielFerreira escreveu:(c) O trabalho realizado pela força de t = 0 até t = t1.

Pelo Teorema do Trabalho-Energia,

$\\ \mathsf{W = \Delta K} \\\\ \mathsf{W = K_f - K_i} \\\\\\ \mathsf{W = \frac{m(v_f)^2}{2} - \frac{m(v_i)^2}{2}} \\\\\\ \mathsf{W = \frac{m}{2} \cdot \left [ (v_f)^2 - (v_i)^2 \right ]} \\\\\\ \mathsf{W = \frac{m}{2} \cdot \left [ (6t_1 - 8t_1)^2 - (6 \cdot 0 - 8 \cdot 0)^2 \right ]}$

$\\ \mathsf{W = \frac{m}{2} \cdot \left [ 6(t_1)^2 - 8t_1) \right ]^2} \\\\\\ \mathsf{W = \frac{m}{2} \cdot \left [ 2t_1 \cdot (3t_1 - 4) \right ]^2} \\\\\\ \mathsf{W = \frac{m}{2} \cdot 4 \cdot (t_1)^2 \cdot (3t_1 - 4)^2} \\\\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{W = 2m \cdot (t_1)^2 \cdot (3t_1 - 4)^2}}}$

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