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[Combinatória] Quantidade de dígitos maiores que 2400
Sáb 07 Jul 2018, 21:57
Amodar escreveu:Quantos números de quatro dígitos são maiores que 2400 e têm todos os dígitos diferentes?
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- DanielFerreiraModerador
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Re: [Combinatória] Quantidade de dígitos maiores que 2400
Sáb 07 Jul 2018, 22:19
RESOLUÇÃO I:
Nesta resolução, separei o desenvolvimento em três partes: na primeira parte, contei a quantidade de números que começam com os dígitos 2 e 4, nessa ordem; por conseguinte, na segunda parte, determinei a quantidade de números maiores que 2.500; e, por fim, os números maiores que 3.000. Veja:
Sejam p1, p2, p3 e p4 as posições dos algarismos. Assim:
Parte 1: maiores que 2.400 e menores que 2.500.
Decisão 1 (d1): colocar o algarismo 2 em p1; n(d1) = 1.
Decisão 2 (d2): colocar o algarismo 4 em p2; n(d2) = 1.
Decisão 3 (d3): escolher um algarismo para p3 diferente dos escolhidos em d1 e d2; n(d3) = 8.
Decisão 4 (d4): escolher um algarismo para p4 diferente dos escolhidos em d1, d2, e d3; n(d4) = 7.
Obs.: n(d1), n(d2), n(d3) e n(d4) correspondem a quantidade de possibilidades...
Assim, pelo Princípio Fundamental da Contagem, teremos:
Parte 2: maiores que 2.500 e menores que 3.000.
Decisão 1 (d1): colocar o algarismo 2 em p1; n(d1) = 1.
Decisão 2 (d2): escolher um algarismo maior que 4 para p2; n(d2) = 5 {são eles: 5, 6, 7, 8 e 9}.
Decisão 3 (d3): escolher um algarismo para p3 diferente dos escolhidos em d1 e d2; n(d3) = 8.
Decisão 4 (d4): escolher um algarismo para p4 diferente dos escolhidos em d1, d2, e d3; n(d4) = 7.
Daí, pelo PFC:
Parte 3: maiores que 3.000.
Decisão 1 (d1): escolher um algarismo maior que 2 para p1; n(d1) = 7 {são eles: 3, 4, 5, 6, ,7 ,8 e 9}.
Decisão 2 (d2): escolher um algarismo para p2 diferente do escolhido em d1; n(d2) = {considere o zero, também}.
Decisão 3 (d3): escolher um algarismo para p3 diferente dos escolhidos em d1 e d2; n(d3) = 8.
Decisão 4 (d4): escolher um algarismo para p4 diferente dos escolhidos em d1, d2, e d3; n(d4) = 7.
Portanto,
Logo, pelo princípio aditivo,
Espero ter ajudado!!
Bons estudos!
Att,
Daniel Ferreira
Nesta resolução, separei o desenvolvimento em três partes: na primeira parte, contei a quantidade de números que começam com os dígitos 2 e 4, nessa ordem; por conseguinte, na segunda parte, determinei a quantidade de números maiores que 2.500; e, por fim, os números maiores que 3.000. Veja:
Sejam p1, p2, p3 e p4 as posições dos algarismos. Assim:
Parte 1: maiores que 2.400 e menores que 2.500.
Decisão 1 (d1): colocar o algarismo 2 em p1; n(d1) = 1.
Decisão 2 (d2): colocar o algarismo 4 em p2; n(d2) = 1.
Decisão 3 (d3): escolher um algarismo para p3 diferente dos escolhidos em d1 e d2; n(d3) = 8.
Decisão 4 (d4): escolher um algarismo para p4 diferente dos escolhidos em d1, d2, e d3; n(d4) = 7.
Obs.: n(d1), n(d2), n(d3) e n(d4) correspondem a quantidade de possibilidades...
Assim, pelo Princípio Fundamental da Contagem, teremos:
Parte 2: maiores que 2.500 e menores que 3.000.
Decisão 1 (d1): colocar o algarismo 2 em p1; n(d1) = 1.
Decisão 2 (d2): escolher um algarismo maior que 4 para p2; n(d2) = 5 {são eles: 5, 6, 7, 8 e 9}.
Decisão 3 (d3): escolher um algarismo para p3 diferente dos escolhidos em d1 e d2; n(d3) = 8.
Decisão 4 (d4): escolher um algarismo para p4 diferente dos escolhidos em d1, d2, e d3; n(d4) = 7.
Daí, pelo PFC:
Parte 3: maiores que 3.000.
Decisão 1 (d1): escolher um algarismo maior que 2 para p1; n(d1) = 7 {são eles: 3, 4, 5, 6, ,7 ,8 e 9}.
Decisão 2 (d2): escolher um algarismo para p2 diferente do escolhido em d1; n(d2) = {considere o zero, também}.
Decisão 3 (d3): escolher um algarismo para p3 diferente dos escolhidos em d1 e d2; n(d3) = 8.
Decisão 4 (d4): escolher um algarismo para p4 diferente dos escolhidos em d1, d2, e d3; n(d4) = 7.
Portanto,
Logo, pelo princípio aditivo,
Espero ter ajudado!!
Bons estudos!
Att,
Daniel Ferreira
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Re: [Combinatória] Quantidade de dígitos maiores que 2400
Sáb 07 Jul 2018, 22:48
DanielFerreira escreveu:Amodar escreveu:Quantos números de quatro dígitos são maiores que 2400 e têm todos os dígitos diferentes?
RESOLUÇÃO II:
Nesta resolução, determinei a quantidade total de números distintos com quatro dígitos e subtraí da quantidade de números distintos menores que 2400...
Determinemos a quantidade total...: para isso, considere p1, p2, p3 e p4 as posições do número!
Decisão 1 (d1): escolher um algarismo para p1 diferente de zero; n(d1) = 9.
Decisão 2 (d2): escolher um algarismo para p2 diferente do escolhido em d1; n(d2) = 9 {o zero deve ser considerado}.
Decisão 3 (d3): escolher um algarismo para p3 diferente dos escolhidos em d1 e d2; n(d3) = 8.
Decisão 4 (d4): escolher um algarismo para p4 diferente dos escolhidos em d1, d2 e d3; n(d4) = 7.
De acordo com o PFC,
Ademais, devemos encontrar a quantidade de números com quatro algarismos distintos menores que 2.400. Segue,
- Começando com UM:
Decisão 1 (d1): colocar o algarismo 1 em p1; n(d1) = 1.
Decisão 2 (d2): escolher um algarismo para p2 diferente do escolhido em d1; n(d2) = 9.
Decisão 3 (d3): escolher um algarismo para p3 diferente dos escolhidos em d1 e d2; n(d3) = 8.
Decisão 4 (d4): escolher um algarismo para p4 diferente dos escolhidos em d1, d2 e d3; n(d4) = 7.
Pelo PFC,
- Começando com DOIS:
Decisão 1 (d1): colocar o algarismo 2 em p1; n(d1) = 1.
Decisão 2 (d2): escolher um algarismo para p2 menor que 4 e diferente do escolhido em d1; n(d2) = 3 {são eles: 0, 1, 3}.
Decisão 3 (d3): escolher um algarismo para p3 diferente dos escolhidos em d1 e d2; n(d3) = 8.
Decisão 4 (d4): escolher um algarismo para p4 diferente dos escolhidos em d1, d2 e d3; n(d4) = 7.
PFC,
Logo,
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Crédito Professor Morgado, Exercício 6, Pag. 23 - Combinações e Permutações
Ter 05 Mar 2024, 11:33
Consideremos por óbvio que em todos os casos que temos dez algarismos, n=10
O problema deverá ser dividido em duas partes. A primeira temos restrições são aquelas que 24xx > Na > 30xx, onde ‘x’ pode ser qualquer número sem repetição, formato 2yxx, e ‘y’ NÃO pode ser igual a: 0, 1, 2 e 3.
A-B-C-D -> A = 10 -9 -> A= 1; B= 10 - (0, 1, A, 3) -> B=10-4 -> B=6;
C=10-(A, B) -> C=10-2 -> C=8; D=10-(A, B, C) -> D=10-3 -> D=7.
1-6-8-7 Na= A*B*C*D -> Ra = 1*6*8*7 -> Na= 336.
Nesta segunda parte, temos somente restrições de NÃO repetição e no primeiro dígito, yxxx > Nb > yxxx, onde ‘x’ pode ser qualquer número sem repetição, formato yxxxx, e 2>y>10.
Vamos destacar então arranjos em ‘A’, a partir de 3 até 9 -> A-B-C-D;
A= 10 -(0, 1, 2) -> A=10-3 -> A=7; B= 10 - (A), B = 10-1 -> B=9;
C = 10 - (A, B) -> C = 10 – 2 -> C =8; D = 10 - (A, B, C) -> D = 10 – 3 -> D= 7.
Nb = 7*9*8*7 -> Nb = 3528.
R = Na + Nb -> R = 336 + 3528 -> R = 3864.
Outra Forma
R = T - (Ra + Rb), Onde T é o total de combinações possíveis, sem repetição.
A-B-C-D -> A = 10 - (0) -> A = 10 – 1 -> A = 9; B = 10 – A -> B = 10 – 1 -> B = 9;
C = 10 - (A, B) -> C = 10 –2 -> C = 8; D = 10 - ( A, B, C) -> D = 10 – 3 -> D = 7.
A-B-C-D -> 9-9-8-7 –> T = 9*9*8*7 -> T = 4536.
Ra -> todos (1) -> 1-B-C-D -> B= 10 – A - > B= 9; C= 10 - (A, B) -> C= 10 – 2 -> C=8;
D= 10 - (A, B, C) -> D = 10-3 -> D=7. Ra -> todos (1) -> 1-9-8-7 -> Ra= 1*9*8*7
Ra= 504.
Rb -> parcial, b<4 -> 2-B-C-D -> Se a=2, então A=1;
Se b<4, então B= 10 - (A, 4, 5, 6, 7, 8, 9) -> B = 10 – 7 -> B= 3;
C= 10 - (A, B) -> C= 10 – 2 -> C= 8; D= 10 - (A, B, C) -> D= 10 – 3 -> D =7
Rb -> parcial, b<4 -> 1-3-8-7 -> Rb= 1*3*8*7 -> Rb= 168;
R = T - (Ra + Rb) -> R = 4536 - ( 504 + 168 ) -> R = 3864.
O problema deverá ser dividido em duas partes. A primeira temos restrições são aquelas que 24xx > Na > 30xx, onde ‘x’ pode ser qualquer número sem repetição, formato 2yxx, e ‘y’ NÃO pode ser igual a: 0, 1, 2 e 3.
A-B-C-D -> A = 10 -9 -> A= 1; B= 10 - (0, 1, A, 3) -> B=10-4 -> B=6;
C=10-(A, B) -> C=10-2 -> C=8; D=10-(A, B, C) -> D=10-3 -> D=7.
1-6-8-7 Na= A*B*C*D -> Ra = 1*6*8*7 -> Na= 336.
Nesta segunda parte, temos somente restrições de NÃO repetição e no primeiro dígito, yxxx > Nb > yxxx, onde ‘x’ pode ser qualquer número sem repetição, formato yxxxx, e 2>y>10.
Vamos destacar então arranjos em ‘A’, a partir de 3 até 9 -> A-B-C-D;
A= 10 -(0, 1, 2) -> A=10-3 -> A=7; B= 10 - (A), B = 10-1 -> B=9;
C = 10 - (A, B) -> C = 10 – 2 -> C =8; D = 10 - (A, B, C) -> D = 10 – 3 -> D= 7.
Nb = 7*9*8*7 -> Nb = 3528.
R = Na + Nb -> R = 336 + 3528 -> R = 3864.
Outra Forma
R = T - (Ra + Rb), Onde T é o total de combinações possíveis, sem repetição.
A-B-C-D -> A = 10 - (0) -> A = 10 – 1 -> A = 9; B = 10 – A -> B = 10 – 1 -> B = 9;
C = 10 - (A, B) -> C = 10 –2 -> C = 8; D = 10 - ( A, B, C) -> D = 10 – 3 -> D = 7.
A-B-C-D -> 9-9-8-7 –> T = 9*9*8*7 -> T = 4536.
Ra -> todos (1) -> 1-B-C-D -> B= 10 – A - > B= 9; C= 10 - (A, B) -> C= 10 – 2 -> C=8;
D= 10 - (A, B, C) -> D = 10-3 -> D=7. Ra -> todos (1) -> 1-9-8-7 -> Ra= 1*9*8*7
Ra= 504.
Rb -> parcial, b<4 -> 2-B-C-D -> Se a=2, então A=1;
Se b<4, então B= 10 - (A, 4, 5, 6, 7, 8, 9) -> B = 10 – 7 -> B= 3;
C= 10 - (A, B) -> C= 10 – 2 -> C= 8; D= 10 - (A, B, C) -> D= 10 – 3 -> D =7
Rb -> parcial, b<4 -> 1-3-8-7 -> Rb= 1*3*8*7 -> Rb= 168;
R = T - (Ra + Rb) -> R = 4536 - ( 504 + 168 ) -> R = 3864.
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