problema sobre m.d.c e quadrado perfeito

Bom dia!!!

Será que alguém consegue resolver esse problema?

Determinar dois números inteiros e positivos,sabendo que:

a) A diferença dos quadrados dos quocientes de suas divisões pelo máximo divisor comum é 51.

b) A diferença desses números dividido pelo máximo divisor comum é 3.

c) O produto desses números é 10080.

obrigado.

lineu48m escreveu:Bom dia!!!

Será que alguém consegue resolver esse problema?

Determinar dois números inteiros e positivos,sabendo que:

a) A diferença dos quadrados dos quocientes de suas divisões pelo máximo divisor comum é 51.

b) A diferença desses números dividido pelo máximo divisor comum é 3.

c) O produto desses números é 10080.

obrigado.

Boa noite, Lineu.

x,y = os dois números inteiros e positivos
D = o m.d.c. desses números

(x/D)² - (y/D)² = 51

(x² - y²)/D² = 51 ........ (i)

(x - y)/D = 3 ............. (ii)

xy = 10080 ............... (iii)

De (i), obtemos:
(x+y)(x-y) = 51*D² ...... (iv)

E de (ii):
x-y = 3*D ................. (v)

Dividimos (iv) pela (v), resultando em:
x+y = 17*D ............... (vi)

Formando sistema com (v) e (vi), vem:
x-y = 3*D ................. (vii)
x+y = 17*D ............... (viii)

(vii) + (viii) :
2x = 20*D
x = 20*D/2
x = 10*D

-(vii) + (viii) :
2y = 14*D
y = 14*D/2
y = 7*D

Logo, fica:
xy = 10*D * 7*D = 70*D²
10080 = 70*D²
D² = 10080/70 = 144
D = √144
D = 12

Finalmente:

x = 10*D = 10*12
x = 120

y = 7*D = 7*12
y = 84


Conferindo:

(120/12)² - (84/12)² = 10² - 7² = 100 - 49 = 51

(120 - 84)/12 = 36/12 = 3

120*84 = 10080






Um abraço.