Material de apoio - Anéis

Definição

Um sistema matemático constituído de um conjunto não vazio A e um par de operações sobre A, respectivamente uma adição e uma multiplicação, é chamado anel se:

$\\ \mathsf{(i) \left ( A, + \right ) \textsf{\'e} \ um \ grupo \ Abeliano, ou \ seja:} \\\\ \bullet \mathsf{Se \ a, b, c, \in A, \textsf{ent\~ao} \ a + (b + c) = (a + b) + c;} \\ \bullet \mathsf{Se \ a, b, c \in A, \textsf{ent\~ao} \ a + b = b + a;} \\ \bullet \mathsf{\exists \, e \in A \ tal \ que, \forall a \in A, \ a + e = e + a = a;} \\ \bullet \mathsf{\forall \, a \in A, \exists (- a) \ tal \ que \ a + (- a) = (- a) + a = e.} \\\\ \mathsf{(ii) \, A \ \textsf{multiplica\c{c}\~ao} \ goza \ da \ propriedade \ associativa, \ isto \ \acute{e}: \ se \ a, b, c \in A, \ \textsf{ent\~ao} \ a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c;} \\\\ \mathsf{(iii) \, A \ multiplica\textsf{\c{c}\~ao} \ e \ distributiva \ em \ rela\textsf{\c{c}\~ao} \ a \ adi\textsf{\c{c}\~ao}, \ vale \ dizer: se \ a, b, c \in A, \ ent\textsf{\~a}o \ a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c \ e \ (a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c}$

Obs1.: Por simplicidade, quando não for mencionada as operações envolvendo o anel, devemos entender que a primeira operação é a soma e a segunda o produto.

Obs2.: Diz-se que um anel é comutativo se a propriedade comutativa for verdadeira na operação multiplicação.

Obs3.: Dizemos que um anel com unidade existe se o elemento neutro da operação multiplicação existir.

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