Subgrupos: (Z, +) e (R, +)

Verifique se $(\mathbb{Z}, +)$ é um subgrupo de $(\mathbb{R}, +)$ .

DanielFerreira escreveu: Verifique se $(\mathbb{Z}, +)$ é um subgrupo de $(\mathbb{R}, +)$ .

Se $(\mathbb{Z}, +)$ for subgrupo de $(\mathbb{R}, +)$ , então algumas condições deverão ser satisfeitas. São elas:

$\\ \bullet \quad \mathsf{Seja ~ \underline{e} ~ o ~ elemento ~ neutro ~ do ~ grupo ~ (\mathbb{R}, +), ent\~ao ~ e \in \mathbb{Z};} \\\\ \bullet \quad \mathsf{\forall x \in \mathbb{Z}, \exists x' \in \mathbb{Z};} \\\\ \bullet \quad \mathsf{\forall x, y \in \mathbb{Z}, (x + y) \in \mathbb{Z}.}$

Quanto ao elemento neutro, temos que o elemento neutro do grupo $(\mathbb{R}, +)$ é o ZERO, e, como $0 \in \mathbb{Z}$ tiramos que a condição é verdadeira.

Elemento simétrico: seja $\mathsf{x}$ um elemento de $\mathbb{Z}$ . Seu simétrico/oposto é $\mathsf{(- x)}$ . Ora, $\mathsf{(- x) \in \mathbb{Z}}$ , então a condição também é verdadeira.

Por fim, vimos que se dois ou mais elementos quaisquer pertencem ao subgrupo, então sua operação - soma - também pertencerá. Em se tratando dos inteiros, sabemos que tal fato é verdadeiro.

Logo, $(\mathbb{Z}, +)$ é um subgrupo de $(\mathbb{R}, +)$ .

Subgrupos: (Z, +) e (R, +)

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