Conservação de energia - looping

Qua 27 Jun 2018, 18:09

Suponha que carro de montanha-russa com massa m parte do repouso a uma distância H acima da base de um looping de diâmetro D, conforme figura abaixo. Se considerarmos o atrito desprezível, mostre que o módulo da força para baixo que o trilho exerce sobre o carro quando ele está no topo do looping é dada por

$\mathrm{\left ( 4 \frac{H}{D} - 5 \right ) \cdot mg}$

Conservação de energia - looping Loopin10

Conservação de energia - looping Loopin10

Qua 27 Jun 2018, 20:39

DanielFerreira escreveu:Suponha que carro de montanha-russa com massa m parte do repouso a uma distância H acima da base de um looping de diâmetro D, conforme figura abaixo. Se considerarmos o atrito desprezível, mostre que o módulo da força para baixo que o trilho exerce sobre o carro quando ele está no topo do looping é dada por

$\mathrm{\left ( 4 \frac{H}{D} - 5 \right ) \cdot mg}$

Note que temos duas forças atuando no carro, então:

$\\ \mathsf{|\mathsf{\overrightarrow{F}_{r_{CP}}}| = |\overrightarrow{\mathsf{N}}| + |\overrightarrow{\mathsf{P}}|} \\\\\\ \mathsf{\frac{mv^2}{R} = |\overrightarrow{\mathsf{N}}| + mg} \\\\\\ \mathsf{|\overrightarrow{\mathsf{N}}| = \frac{mv^2}{R} - mg}$

Por conseguinte, aplicamos o Teorema da Energia Conservativa:

$\\ \mathsf{K_A + U_A = K_B + U_B} \\\\ \mathsf{0 + mgH = \frac{mv^2}{2} + mgD} \\\\ \mathsf{\frac{mv^2}{2} = mgH - mgD \qquad \qquad \times \frac{2}{R}} \\\\\\ \mathsf{\frac{mv^2}{R} = \frac{2mgH - 2mgD}{R}}$

Substituindo,

$\\ \mathsf{|\overrightarrow{\mathsf{N}}| = \frac{mv^2}{R} - mg} \\\\\\ \mathsf{|\overrightarrow{\mathsf{N}}| = \frac{2mgH - 2mgD}{R} - mg} \\\\\\ \mathsf{|\overrightarrow{\mathsf{N}}| = \frac{2mgH - 2mg \cdot (2R)}{R} - mg} \\\\\\ \mathsf{|\overrightarrow{\mathsf{N}}| = \frac{2mgH - 4mgR - mgR}{R}}$

$\\ \mathsf{|\overrightarrow{\mathsf{N}}| = \frac{2mgH - 5mgR}{R}} \\\\\\ \mathsf{|\overrightarrow{\mathsf{N}}| = \frac{2mgH}{R} - 5mg} \\\\\\ \mathsf{|\overrightarrow{\mathsf{N}}| = \frac{2mgH}{D/2} - 5mg} \\\\\\ \mathsf{|\overrightarrow{\mathsf{N}}| = \frac{4mgH}{D} - 5mg}$

$\boxed{\boxed{\mathsf{|\overrightarrow{\mathsf{N}}| = \left ( \frac{4H}{D} - 5 \right ) \cdot mg}}}$

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