[CECIERJ/2023 - Tutor PVC] Probabilidade: banca de professores

Numa sala, há 10 professores de Matemática, dentre os quais, somente 3 são doutores. Para a composição de uma banca de concurso, formada por 5 desses professores, impôs-se a seguinte condição: na banca não deverá haver maioria de professores doutores. Selecionada aleatoriamente uma das possíveis bancas, a probabilidade de ela atender à condição imposta é um número pertencente ao intervalo

A) (1/100; 1/2)
B) (1/2; 7/10)
C) (7/10; 8/10)
D) (8/10; 9/10)
E) (9/10; 1)

Spoiler:

Questão escreveu:Numa sala, há 10 professores de Matemática, dentre os quais, somente 3 são doutores. Para a composição de uma banca de concurso, formada por 5 desses professores, impôs-se a seguinte condição: na banca não deverá haver maioria de professores doutores. Selecionada aleatoriamente uma das possíveis bancas, a probabilidade de ela atender à condição imposta é um número pertencente ao intervalo

A) (1/100; 1/2)
B) (1/2; 7/10)
C) (7/10; 8/10)
D) (8/10; 9/10)
E) (9/10; 1)

Spoiler:

Sejam {PDr1, PDr2, PDr3, P1, P2, P3, P4, P5, P6, P7} os professores de Matemática em questão. A quantidade total de bancas possíveis é dada pela combinação de todos os professores em grupos de cinco (cinco a cinco), ou seja, por C_{10, 5}. No entanto, de acordo com o enunciado, a banca deve ser formada pela maioria de professores sem doutorado. Isto pode acontecer de três modos:

- Modo I: cinco professores sem doutorado.
- Modo II: quatro  professores sem doutorado.
- Modo III: três professores sem doutorado.

Desse modo, precisaremos separar a contagem nas três situações acima.


CONDIÇÃO I: banca formada apenas por professores que não têm doutorado.

Decisão 1 (d₁): combinar sete professores em grupos de cinco (cinco a cinco), #d₁ = C_7,5


CONDIÇÃO II: banca formada por QUATRO professores que não tenham doutorado e UM que tenha.

Decisão 2 (d₂): combinar sete professores em grupos de quatro (quatro a quatro), #d₂ = C_7,4
Decisão 3 (d₃): combinar três professores em grupo de um (um a um), #d₃ = C_3,1


CONDIÇÃO III: banca formada por TRÊS professores que não tenham doutorado e DOIS que tenham.

Decisão 4 (d₄): combinar sete professores em grupos de três (três a três), #d₄ = C_7,3
Decisão 5 (d₅): combinar três professores em grupos de dois (dois a dois), #d₅ = C_3,2


Daí, pelos Princípios Aditivo e Multiplicativo,




Por fim, a probabilidade...




Encontremos uma fração equivalente cujo denominador seja 10.