[UERJ/2024.1] Sequência numérica: soma dos termos

A sequência (a_n) = (0, 0, 5, 5, 0,...), em que , é definida por:



Sendo x o algarismo da unidade simples da soma a_{n - 1} + a_{n - 2} + a_{n - 3}.

A soma dos 100 primeiros elementos da sequência (a_n) é igual a:

(A) 125
(B) 175
(C) 200
(D) 250

De acordo com o enunciado, os dois primeiros elementos da sequência são nulos, o terceiro é o cinco e os demais elementos são obtidos com a soma dos seus três antecessores, imediatos.

a4 = a3 + a2 + a1
a5 = a4 + a3 +a2
a6 = a5 +a4 + a3
...

(0, 0, 5, 5, 0, 0, 5, 5, 0, 0,...)

Como podemos notar, a sequência tem o seguinte comportamento:

0055 0055 0055 0055 ...

Devemos encontrar a quantidade de vezes que o 5 aparece até o centésimo termo, inclusive. E, podemos fazer isso por meio de um conceito que conhecemos: o da divisão.

Temos 100 elementos e precisamos separá-los em grupos com 4 elementos. Teremos, portanto, 25 grupos (100/4) com 4 elementos!

Daí, como cada grupo possui dois 5, temos que 25 grupos terá...? 50 (2 . 25)

Logo,

(5 + 5) + (5 + 5) + (5 + 5) + ... + ( 5 + 5) =
5 . 50 =
250