[UERJ/2024.1] Máximo Divisor Comum (MDC)

Considere os seguintes números naturais:

X = 3 . 5² . 2^y
W = 120
Z = 48

Sabendo que o máximo divisor comum de X, W e Z é 24, o valor de y é:

(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 5

Questão escreveu:Considere os seguintes números naturais:

X = 3 . 5² . 2^y
W = 120
Z = 48

Sabendo que o máximo divisor comum de X, W e Z é 24, o valor de y é:

(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 5

Para solucionar a questão, precisamos fatorar o W e o Z. Segue,

__120__| 2
__60___| 2
__30___| 2
__15___| 3
__5____| 5
__1____|

Ou seja, 120 = 2³ . 3 . 5

Quanto ao Z,

__48___| 2
__24___| 2
__12___| 2
__6____| 2
__3____| 3
__1____|

Isto é, 48 = 2⁴ . 3

O termo Máximo Divisor Comum (MDC) significa que 24 é o maior número que divide X, W e Z. Posto isto, temos que X é MÚLTIPLO de 24!! Logo, o expoente da base 2 precisa ser, no mínimo, TRÊS; afinal, se y = 4, então X continua sendo múltiplo de 24 e o MDC entre os números envolvidos também é 24 (por causa do expoente 3 na base 2, em W)!!

Em símbolos,

X = 3 . 5² . 2^y
W = 2³ . 3 . 5
Z = 2⁴ . 3

Ademais, notemos que: se y < 3, então MDC(X, W, Z) é diferente de 24. Por outro lado, quando y é maior ou igual a 3, temos que MDC(X, W, Z) é sempre igual a 24.