Integral - Lista 13 (questão 7c)

7) Calcule a integral abaixo usando fracções parciais.

c) $\int \frac{5x^3 - 3x^2 + 2x - 1}{x^4 + 9x^2} \, dx$

Transformemos a fração do integrando numa fração parcial, de acordo com a sugestão do enunciado.

$\\ \frac{5x^3 - 3x^2 + 2x - 1}{x^2(x^2 + 9)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x^2} + \frac{Cx + D}{x^2 + 9} \\\\\\ = \frac{Ax(x^2 + 9) + B(x^2 + 9) + x^2(Cx + D)}{x^2(x^2 + 9)} \\\\\\ = \frac{(A + C)x^3 + (B + D)x^2 + 9Ax + 9B}{x^2(x^2 + 9)}$
$\\ \begin{cases} A + C = 5 \\ B + D = - 3 \\ 9A = 2 \\ 9B = - 1 \end{cases} \\\\ \text{Resolvendo-o, obtemos:} \; \boxed{A = \frac{2}{9}}, \boxed{B = - \frac{1}{9}}, \boxed{C = \frac{43}{9}} \; \text{e} \; \boxed{D = - \frac{26}{9}}.$

Com isso,

$\\ \int \frac{5x^3 - 3x^2 + 2x - 1}{x^4 + 9x^2} \, dx = \frac{2}{9} \int \frac{dx}{x} - \frac{1}{9} \int \frac{dx}{x^2} + \frac{1}{9} \int \frac{43x - 26}{x^2 + 9} \, dx \\\\\\ \int \frac{5x^3 - 3x^2 + 2x - 1}{x^4 + 9x^2} \, dx = \frac{2}{9} \int \frac{dx}{x} - \frac{1}{9} \int \frac{dx}{x^2} + \frac{43}{9} \int \frac{x}{x^2 + 9} \, dx - \frac{26}{9} \int \frac{dx}{x^2 + 9}$

A terceira integral sai por substituição simples;

A quarta integral sai aplicando a fórmula $\int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a} \cdot \tan^{- 1} \left ( \frac{x}{a} \right ) + c$

Por fim, temos como resposta: $\boxed{\boxed{\frac{1}{9} \cdot \left [ 2 \cdot \ln |x| + \frac{1}{x} + \frac{43 \cdot \ln (x^2 + 9)}{2} - \frac{26}{3} \cdot \tan^{- 1} \left ( \frac{x}{3} \right ) + C \right ]}}$ .

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