Iteração simples: f(x) = x² - 6x + 9

Dom 29 Jan 2017, 01:57

Responda com V se a afirmação abaixo for verdadeira ou com F se for falsa. Justifique a resposta.

( ) A aplicação do método de iteração simples e o valor inicial $\mathbf{x_o = 2,5}$ (por exemplo), nos leva à verdadeira raiz $\mathbf{\overline{x} = 3}$ da equação $\mathbf{f(x) = x^2 - 6x + 9 = 0}$ .

Dom 29 Jan 2017, 02:54

DanielFerreira escreveu:Responda com V se a afirmação abaixo for verdadeira ou com F se for falsa. Justifique a resposta.

( V ) A aplicação do método de iteração simples e o valor inicial $\mathbf{x_o = 2,5}$ (por exemplo), nos leva à verdadeira raiz $\mathbf{\overline{x} = 3}$ da equação $\mathbf{f(x) = x^2 - 6x + 9 = 0}$ .

De início, devemos obter $\mathsf{g(x)}$ . Segue,

$\\ \mathsf{f(x) = x^2 - 6x + 9} \\\\ \mathsf{0 = x^2 - 6x + 9} \\\\ \mathsf{6x = x^2 + 9} \\\\ \boxed{\mathsf{g(x) = \frac{x^2}{6} + \frac{3}{2}}}$

Por conseguinte, devemos arbitrar um valor para $\\ \mathsf{\underline{x_0}}$ , em que $\\ \mathsf{x_{i + 1} = g(x_i), \ i = 0, 1, 2,..., n}$ . Mas, segundo o enunciado, $\\ \mathsf{x_0 = 2,5}$ . Com efeito, verificamos a condição de convergência... $\mathsf{\left | g'(x_0) \right | < 1}$

$\\ \mathsf{\left | g'(x_0) \right | < 1} \\\\ \mathsf{\left | g'(x_0 = 2,5) \right | < 1} \\\\ \mathsf{\left | \frac{2,5}{3} \right | < 1} \\\\ \mathsf{0,8\bar{3} < 1 \qquad \qquad (true)}$

Daí, verificamos as iterações...

$\\ \mathsf{x_{i + 1} = \frac{x_i^2}{6} + \frac{3}{2}} \\\\ \mathsf{x_{0 + 1} = \frac{x_0^2}{6} + \frac{3}{2} \Rightarrow x_1 = \frac{(2,5)^2}{6} + 1,5 \Rightarrow \boxed{\mathsf{x_1 = 2,54167}}} \\\\ \mathsf{x_{1 + 1} = \frac{x_1^2}{6} + \frac{3}{2} \Rightarrow x_2 = \frac{(2,54167)^2}{6} + 1,5 \Rightarrow \boxed{\mathsf{x_2 = 2,57669}}} \\\\ \mathsf{x_{2 + 1} = \frac{x_2^2}{6} + \frac{3}{2} \Rightarrow x_3 = \frac{(2,57669)^2}{6} + 1,5 \Rightarrow \boxed{\mathsf{x_3 = 2,60655}}} \\\\ \mathsf{x_{3 + 1} = \frac{x_3^2}{6} + \frac{3}{2} \Rightarrow x_4 = \frac{(2,60655)^2}{6} + 1,5 \Rightarrow \boxed{\mathsf{x_4 = 2,63235}}}$

$\\ \mathsf{x_{4 + 1} = \frac{x_4^2}{6} + \frac{3}{2} \Rightarrow x_5 = \frac{(2,63235)^2}{6} + 1,5 \Rightarrow \boxed{\mathsf{x_5 = 2,65488}}} \\\\ \mathsf{x_{5 + 1} = \frac{x_5^2}{6} + \frac{3}{2} \Rightarrow x_6 = \frac{(2,65488)^2}{6} + 1,5 \Rightarrow \boxed{\mathsf{x_6 = 2,67473}}} \\\\ \mathsf{x_{6 + 1} = \frac{x_6^2}{6} + \frac{3}{2} \Rightarrow x_7 = \frac{(2,67473)^2}{6} + 1,5 \Rightarrow \boxed{\mathsf{x_7 = 2,69236}}} \\\\ \mathsf{x_{7 + 1} = \frac{x_7^2}{6} + \frac{3}{2} \Rightarrow x_8 = \frac{(2,69236)^2}{6} + 1,5 \Rightarrow \boxed{\mathsf{x_8 = 2,70814}}}$

$\\ \mathsf{x_{8 + 1} = \frac{x_8^2}{6} + \frac{3}{2} \Rightarrow x_9 = \frac{(2,70814)^2}{6} + 1,5 \Rightarrow \boxed{\mathsf{x_9 = 2,72234}}} \\\\ \mathsf{x_{9 + 1} = \frac{x_9^2}{6} + \frac{3}{2} \Rightarrow x_{10} = \frac{(2,72234)^2}{6} + 1,5 \Rightarrow \boxed{\mathsf{x_{10} = 2,73518}}} \\\\ \mathsf{x_{10 + 1} = \frac{x_{10}^2}{6} + \frac{3}{2} \Rightarrow x_{11} = \frac{(2,73518)^2}{6} + 1,5 \Rightarrow \boxed{\mathsf{x_{11} = 2,74687}}} \\\\ \mathsf{x_{11 + 1} = \frac{x_{11}^2}{6} + \frac{3}{2} \Rightarrow x_{12} = \frac{(2,74687)^2}{6} + 1,5 \Rightarrow \boxed{\mathsf{x_{12} = 2,75755}}} \\ \vdots \\ \boxed{\mathsf{\bar{x} = 3}}$

Como podemos notar, de fato, a afirmação é verdadeira!!

Iteração simples: f(x) = x² - 6x + 9

Iteração simples: f(x) = x² - 6x + 9

Re: Iteração simples: f(x) = x² - 6x + 9