(Grupo) Simétrico de um composto

Prove que para quaisquer x e y em G, tem-se $(x \ast y)' = y' \ast x'$

$\\ \mathsf{\quad Sabemos ~ da ~ propriedade ~ de ~ elemento ~ neutro ~ que: ~ \forall x \in G, ~ \exists x' \in G} \\ \mathsf{tal ~ que ~ x \ast x' = x' \ast x = e. ~ Com ~ efeito, ~ se ~ y' \ast x' ~ \acute{e} ~ o ~ sim\acute{e}trico ~ de ~ x \ast y,~ ent\~ao:} \\\\ \mathsf{i) \ sim\acute{e}trico ~ \grave{a} ~ direita: x \ast x' = e} \\\\ \mathsf{(x \ast y) \ast (y' \ast x') = e} \\ \mathsf{x \ast (y \ast y') \ast x') = e} \\ \mathsf{(x \ast e) \ast x' = e} \\ \mathsf{x \ast x' = e} \\ \mathsf{e = e \qquad \qquad \qquad \ \blacksquare }$

$\\ \mathsf{i) \ sim\acute{e}trico ~ \grave{a} ~ esquerda: x' \ast x = e} \\\\ \mathsf{(y' \ast x') \ast (x \ast y) = e} \\ \mathsf{y' \ast (x' \ast x) \ast y) = e} \\ \mathsf{(y' \ast e) \ast y = e} \\ \mathsf{y' \ast y = e} \\ \mathsf{e = e \qquad \qquad \qquad \ \blacksquare}$

$\\ \mathsf{Assim, ~ provamos ~ que ~ o ~ sim\acute{e}trico ~ do ~ composto ~ x \ast y ~ \acute{e} ~ y' \ast x'.}$

Palavras-chave: grupos, simetria, elemento composto.

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