[CN/2016] Equação irracional

Sáb 25 Mar 2017, 21:09

O conjunto solução da equação $\\ \mathbf{x + 1 = \sqrt{x^2 + \sqrt{4x^2 + 4x + 1}}}$ em $\\ \mathbf{\mathbb{R}}$ , conjunto dos números reais, é:

$\\ \mathbf{a) \ \mathbb{R}} \\\\ \mathbf{b) \ \left [ - 1, \infty \right [} \\\\ \mathbf{c) \ \mathbb{R} - \left [ - 1, \infty \right [} \\\\ \mathbf{d) \ \left [ 0, \infty \right [} \\\\ \mathbf{e) \ \left [ - \frac{1}{2}, \infty \right [}$

Dom 26 Mar 2017, 19:09

DanielFerreira escreveu:O conjunto solução da equação $\\ \mathbf{x + 1 = \sqrt{x^2 + \sqrt{4x^2 + 4x + 1}}}$ em $\\ \mathbf{\mathbb{R}}$ , conjunto dos números reais, é:

$\\ \mathbf{a) \ \mathbb{R}} \\\\ \mathbf{b) \ \left [ - 1, \infty \right [} \\\\ \mathbf{c) \ \mathbb{R} - \left [ - 1, \infty \right [} \\\\ \mathbf{d) \ \left [ 0, \infty \right [} \\\\ \mathbf{e) \ \left [ - \frac{1}{2}, \infty \right [}$

Desenvolvendo a equação,

$\\ \mathsf{x + 1 = \sqrt{x^2 + \sqrt{4x^2 + 4x + 1}}} \\\\ \mathsf{x + 1 = \sqrt{x^2 + \sqrt{(2x + 1)^2}}} \\\\ \mathsf{x + 1 = \sqrt{x^2 + |2x + 1|}}$

Vale lembrar que $\\ \mathbf{|x| = \begin{cases} \mathbf{x, \qquad se \quad x \geq 0} \\ \mathbf{- x, \quad \ se \quad x < 0} \end{cases}}$ .

Então, $\\ \mathbf{|2x + 1| = \begin{cases} \mathbf{2x + 1, \qquad se \quad x \geq - \frac{1}{2}} \\\\ \mathbf{- 2x - 1, \quad \ se \quad x < - \frac{1}{2}} \end{cases}}$ .

Com efeito, temos duas possibilidades:

$\\ \mathsf{\bullet \qquad Se \ x \geq - \frac{1}{2}, \ \textsf{ent\~ao:}} \\\\\\ \mathsf{x + 1 = \sqrt{x^2 + (2x + 1)}} \\\\ \mathsf{x + 1 = \sqrt{(x + 1)^2}} \\\\ \mathsf{x + 1 = x + 1} \\\\ \mathsf{S_{\bullet} = \mathbb{R}}$

$\\ \mathsf{\bullet \bullet \qquad Se \ x < - \frac{1}{2}, \ \textsf{ent\~ao:}} \\\\ \mathsf{x + 1 = \sqrt{x^2 + (- 2x - 1)}} \\\\ \mathsf{(x + 1)^2 = (\sqrt{x^2 - 2x - 1})^2} \\\\ \mathsf{x^2 + 2x + 1 = x^2 - 2x - 1} \\\\ \mathsf{4x = - 2} \\\\ \mathsf{x = - \frac{1}{2}}$

Verificando,

$\\ \mathsf{x + 1 = \sqrt{x^2 - 2x - 1}} \\\\ \mathsf{- \frac{1}{2} + 1 = \sqrt{\frac{1}{4} + 1 - 1}} \\\\ \mathsf{\frac{1}{2} = \sqrt{\frac{1}{4}}} \\\\ \mathsf{\frac{1}{2} = \frac{1}{2} \qquad \qquad (V)}$

Desse modo, tiramos que: $\\ \mathsf{S_{\bullet \bullet} = \left \{ - \frac{1}{2} \right \}}$

Por fim, concluímos que o conjunto-solução é dado por $\\ \boxed{\mathsf{S = \left \{ x \in \mathbb{R} \ | \ x \geq - \frac{1}{2} \right \}}}$ .

Ou seja, a opção e) é a correcta!

[CN/2016] Equação irracional

[CN/2016] Equação irracional

Re: [CN/2016] Equação irracional