[CECIERJ/2023 - Tutor PVC] Equação Irracional

Ter 07 Mar 2023, 15:20

Dado a um número real positivo, o valor de x é tal que

$png.image?\inline&space;\dpi{110}x&space;=&space;a&space;\cdot&space;\sqrt[3]{a&space;\cdot&space;\sqrt[3]{a&space;\cdot&space;\sqrt[3]{a&space;\cdot&space;\sqrt[3]{a&space;\hdots}}}}&space;-&space;\sqrt{a^3}$

Assinale a opção que apresenta o valor de x.

A) - 1
B) 0
C) 1
D) a
E) a^1/3

Spoiler:

Dom 26 Mar 2023, 16:02

Questão escreveu:Dado a um número real positivo, o valor de x é tal que

$png.image?\inline&space;\dpi{110}x&space;=&space;a&space;\cdot&space;\sqrt[3]{a&space;\cdot&space;\sqrt[3]{a&space;\cdot&space;\sqrt[3]{a&space;\cdot&space;\sqrt[3]{a&space;\hdots}}}}&space;-&space;\sqrt{a^3}$

Assinale a opção que apresenta o valor de x.

A) - 1
B) 0
C) 1
D) a
E) a^1/3
Spoiler:

Seja $svg.image?\inline&space;\mathtt{a\cdot\sqrt[\mathtt{3}]{\mathtt{a}&space;\cdot&space;\sqrt[\mathtt{3}]{\mathtt{a}&space;\cdot&space;\sqrt[\mathtt{3}]{\mathtt{a}&space;\hdots}}}&space;=&space;k}&space;$ , onde "k" é um real positivo. Daí,

$svg.image?\inline&space;\\&space;\mathtt{k&space;=&space;a&space;\cdot&space;}&space;\sqrt[\mathtt{3}]{\mathtt{a}&space;\cdot&space;\sqrt[\mathtt{3}]{\mathtt{a}&space;\cdot&space;\sqrt[\mathtt{3}]{\mathtt{a}&space;\cdot&space;\sqrt[\mathtt{3}]{\mathtt{a}&space;\hdots}}}}&space;&space;\\\\\mathtt{k^3&space;=&space;a^3&space;\cdot&space;\left&space;(a&space;\cdot&space;\sqrt[\mathtt{3}]{\mathtt{a}&space;\cdot&space;\sqrt[\mathtt{3}]{\mathtt{a}&space;\hdots}}&space;\right&space;)}&space;\\\\\mathtt{k^3&space;=&space;a^3&space;\cdot&space;k}&space;\\\\\mathtt{k&space;\cdot&space;(k^2&space;-&space;a^3)&space;=&space;0}&space;\\\\\boxed{\mathtt{S_k&space;=&space;\left&space;\{&space;0,&space;\sqrt{a^3}&space;\right&space;\}}}&space;&space;$

Lembremos que $svg.image?\inline&space;\mathtt{k&space;\in&space;\mathbb{R}_+}$ . Então,

$svg.image?\inline&space;\boxed{\mathtt{k&space;=&space;\sqrt{a^3}}}&space;$

Por fim,

$svg.image?\inline&space;\\&space;\mathtt{x&space;=&space;a}&space;\cdot&space;\sqrt[\mathtt{3}]{\mathtt{a}&space;\cdot&space;\sqrt[\mathtt{3}]{\mathtt{a}&space;\cdot&space;\sqrt[\mathtt{3}]{\mathtt{a}&space;\cdot&space;\sqrt[\mathtt{3}]{\mathtt{a}&space;\hdots}}}}&space;-&space;\sqrt{\mathtt{a^3}}&space;\\\\\mathtt{x&space;=&space;k&space;-&space;\sqrt\mathtt{a^3}}&space;\\\\\mathtt{x&space;=&space;\sqrt{a^3}&space;-&space;\sqrt{a^3}}&space;\\\\\boxed{\boxed{\mathtt{x&space;=&space;0}}}&space;$

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