[CECIERJ/2023 - Tutor PVC] Progressão Aritmética

Ter 07 Mar 2023, 16:40

Quantos números reais formam uma Progressão Aritmética de modo que:

- a sua soma vale 28;
- o quadrado do primeiro termo é igual ao segundo termo;
- o quadrado do segundo termo é igual ao quarto termo.

Nessas condições, pode-se afirmar que a soma dos quadrados desses números é:

A) 288
B) 312
C) 324
D) 360
E) 376

Spoiler:

Ter 07 Mar 2023, 19:50

Questão escreveu:Quantos números reais formam uma Progressão Aritmética de modo que:

- a sua soma vale 28;
- o quadrado do primeiro termo é igual ao segundo termo;
- o quadrado do segundo termo é igual ao quarto termo.

Nessas condições, pode-se afirmar que a soma dos quadrados desses números é:

A) 288
B) 312
C) 324
D) 360
E) 376

Spoiler:

seja (a₁, a₂, a₃,..., a_n) a PA em questão. O enunciado nos fornece três condições. Vamos a cada uma dela:

CONDIÇÃO I: S_n = 28

CONDIÇÃO II: (a₁)² = a₂

CONDIÇÃO III: (a₂)² = a₄

Sabemos que a₂ = a₁ + r. Substituindo na condição II,

$png.image?\inline&space;\dpi{110}\\&space;\mathtt{(a_1)^2&space;=&space;a_2}&space;\\\\\mathtt{(a_1)^2&space;=&space;a_1&space;+&space;r}&space;\\\\\boxed{\mathtt{r&space;=&space;(a_1)^2&space;-&space;a_1}}&space;$

Da condição III,

$png.image?\inline&space;\dpi{110}\\&space;\mathtt{(a_2)^2&space;=&space;a_4}&space;\\\mathtt{(a_1&space;+&space;r)^2&space;=&space;a_1&space;+&space;3r}&space;\\\mathtt{(a_1)^2&space;+&space;2ra_1&space;+&space;r^2&space;=&space;a_1&space;+&space;3r}&space;\\\mathtt{\underbrace{\mathtt{(a_1)^2&space;-&space;a_1}}_{r}&space;+&space;2ra_1&space;+&space;r^2&space;-&space;3r&space;=&space;0}&space;\\\mathtt{r^2&space;+&space;2ra_1&space;-&space;2r&space;=&space;0}&space;\\\mathtt{r&space;\cdot&space;(r&space;+&space;2a_1&space;-&space;2)&space;=&space;0}&space;\\\boxed{\mathtt{S_r&space;=&space;\left&space;\{&space;0,&space;2&space;-&space;2a_1&space;\right&space;\}}}&space;$

Porém, se r=0, a condição I não será satisfeita. Portanto, $png.image?\inline&space;\dpi{110}\boxed{\mathtt{r&space;=&space;2&space;-&space;2a_1}}&space;$ .

Igualando,

$png.image?\inline&space;\dpi{110}\\&space;\mathtt{(a_1)^2&space;-&space;a_1&space;=&space;2&space;-&space;2a_1}&space;\\\mathtt{(a_1)^2&space;+&space;a_1&space;-&space;2&space;=&space;0}&space;\\\mathtt{(a_1)^2&space;-&space;a_1&space;+&space;2a_1&space;-&space;2&space;=&space;0}&space;\\\mathtt{a_1&space;\cdot&space;\left&space;(&space;a_1&space;-&space;1&space;\right&space;)&space;+&space;2&space;\cdot&space;(a_1&space;-&space;1)&space;=&space;0}&space;\\\mathtt{(a_1&space;-&space;1)&space;\cdot&space;(a_1&space;+&space;2)&space;=&space;0}&space;$

Se a₁ = 1, então r = 0. Já vimos que não satisfaz... Logo, a₁ = - 2. Por conseguinte,

r = 2 - 2a₁
r = 2 + 4
r = 6

Ademais,

$png.image?\inline&space;\dpi{110}\\&space;\mathtt{a_n&space;=&space;a_1&space;+&space;(n&space;-&space;1)r}&space;\\\mathtt{a_n&space;=&space;-&space;2&space;+&space;(n&space;-&space;1)&space;\cdot&space;6}&space;\\\mathtt{a_n&space;=&space;-&space;2&space;+&space;6n&space;-&space;6}&space;\\\boxed{\mathtt{a_n&space;=&space;6n&space;-&space;8}}&space;$

Daí,

$png.image?\inline&space;\dpi{110}\\&space;\mathtt{S_n&space;=&space;\dfrac{(a_1&space;+&space;a_n)n}{2}}&space;\\\\\mathtt{28&space;=&space;\dfrac{(-&space;2&space;+&space;6n&space;-&space;8)n}{2}}&space;\\\\\mathtt{28&space;=&space;\dfrac{(-&space;10&space;+&space;6n)n}{2}}&space;\\\\\mathtt{(-&space;5&space;+&space;3n)n&space;=&space;28}&space;\\\\\mathtt{3n^2&space;-&space;5n&space;-&space;28&space;=&space;0}&space;\\\\\mathtt{\Delta&space;=&space;25&space;+&space;336&space;=&space;361}&space;\\\\\mathtt{n&space;=&space;\dfrac{5&space;\pm&space;\sqrt{19^2}}{6}}&space;\\\\\boxed{\mathtt{S_n&space;=&space;\left&space;\{-&space;\dfrac{7}{3},&space;4\right&space;\}}}&space;$

Logo, a sequência em questão é

$png.image?\inline&space;\dpi{110}\\&space;\mathtt{\left&space;(&space;a_1,&space;a_2,&space;a_3,&space;a_4&space;\right&space;)&space;=}&space;\\\mathtt{\left&space;(&space;a_1,&space;a_1&space;+&space;r,&space;a_1&space;+&space;2r,&space;a_1&space;+&space;3r&space;\right&space;)&space;=}&space;\\\mathtt{\left&space;(&space;-&space;2,&space;-&space;2&space;+&space;6,&space;-&space;2&space;+&space;12,&space;-&space;2&space;+&space;18&space;\right&space;)&space;=}&space;\\\boxed{\boxed{\mathtt{\left&space;(&space;-&space;2,&space;4,&space;10,&space;16&space;\right&space;)}}}&space;\\$

Por fim,

$png.image?\inline&space;\dpi{110}\\&space;\mathtt{(a_1)^2&space;+&space;(a_2)^2&space;+&space;(a_3)^2&space;+&space;(a_4)^2&space;=}&space;\\\mathtt{(-&space;2)^2&space;+&space;(4)^2&space;+&space;(10)^2&space;+&space;(16)^2&space;=}&space;\\\mathtt{4&space;+&space;16&space;+&space;100&space;+&space;256&space;=}&space;\\\boxed{\boxed{\boxed{\mathtt{376}}}$

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Re: [CECIERJ/2023 - Tutor PVC] Progressão Aritmética