Demonstre o Teorema de D'Alembert

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Demonstre o Teorema de D'Alembert

Mensagem  DanielFerreira em Dom 02 Abr 2017, 17:02

Demonstrar o teorema: se um polinômio P(x) é divisível, separadamente, pelos binômios e , então P(x) é divisível pelo produto .

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Re: Demonstre o Teorema de D'Alembert

Mensagem  danjr5 em Dom 02 Abr 2017, 17:34


Seja P(x) um polinômio de grau maior ou igual a dois. Por hipótese, temos que: e com . Com efeito, , segundo o teorema de D'Alembert.


Por absurdo, consideremos que . Desse modo, teremos:


, onde o maior grau possível de "r" é 1; com isso, tomamos .


Além disso:








Resolvendo o sistema formado por (i) e (ii),





E,





Ou seja, . Então, contradição; afinal, o resto da divisão de P(x) pelo produto é nulo. Logo, podemos concluir que .


Como queríamos demonstrar.


Obs.: está representando "não divide".

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