Indução Finita: 1 . 2 + 2 . 3 + ... + (n - 1) . n

Prove por indução matemática que:

$\mathrm{\sum_{i = 1}^{n - 1} i \cdot (i + 1) = \frac{n \cdot (n - 1) \cdot (n + 1)}{3}, \ \forall \, n \geq 2; n \in \mathbb{Z}}$

Fazendo uma indução em n, temos:

Passo base: a fórmula é verdadeira para n = 2 (elemento mínimo).

$\\ \mathsf{\sum_{i = 1}^{n - 1} i \cdot (i + 1) = \frac{n(n - 1)(n + 1)}{3}} \\\\\\ \mathsf{\sum_{i = 1}^{2 - 1} i \cdot (i + 1) = \frac{2(2 - 1)(2 + 1)}{3}} \\\\\\ \mathsf{\sum_{i = 1}^{1} i \cdot (i + 1) = \frac{2 \cdot 1 \cdot 3}{3}} \\\\\\ \mathsf{1 \cdot 2 = 2 \cdot 1}$

Passo indutivo: se a fórmula é verdadeira para n = k, então é verdadeira para n = k + 1.

Assim, temos como hipótese de indução:

$\mathsf{\sum_{i = 1}^{k - 1} i(i + 1) = \frac{k(k - 1)(k + 1)}{3}, \, k \geq 2}$

Portanto, devemos mostrar que:

$\mathsf{\sum_{i = 1}^{k} i(i + 1) = \frac{k(k + 1)(k + 2)}{3}}$

Segue,

$\\ \mathsf{\sum_{i = 1}^{k - 1} i(i + 1) = \frac{k(k - 1)(k + 1)}{3}} \\\\\\ \mathsf{k(k + 1) + \sum_{i = 1}^{k - 1} i(i + 1) = k(k + 1) + \frac{k(k - 1)(k + 1)}{3}} \\\\\\ \mathsf{\sum_{i = 1}^{k} i(i + 1) = \frac{3k(k + 1) + k(k - 1)(k + 1)}{3}}$

$\\ \mathsf{\sum_{i = 1}^{k} i(i + 1) = \frac{k(k + 1)}{3} \cdot \left [ 3 + (k - 1) \right ]} \\\\\\ \mathsf{\sum_{i = 1}^{k} i(i + 1) = \frac{k(k + 1)}{3} \cdot \left (k + 2 \right )} \\\\\\ \mathsf{\sum_{i = 1}^{k} i(i + 1) = \frac{k(k + 1)(k + 2)}{3}}$

Como queríamos demonstrar!

Indução Finita: 1 . 2 + 2 . 3 + ... + (n - 1) . n

Indução Finita: 1 . 2 + 2 . 3 + ... + (n - 1) . n

Re: Indução Finita: 1 . 2 + 2 . 3 + ... + (n - 1) . n