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[Geometria Plana] Círculo de Apolonius
Sáb 02 Mar 2019, 09:37
Em um triângulo ABC, BC = 16 e h = 8 (relativa a BC). Calcule a razão AB/AC sabendo que ela é máxima.
a) 2
b) 3
c) 3/2
d) 4/3
e) NRA
a) 2
b) 3
c) 3/2
d) 4/3
e) NRA
- DanielFerreiraModerador
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Re: [Geometria Plana] Círculo de Apolonius
Sáb 02 Mar 2019, 12:46
DanielFerreira escreveu:Em um triângulo ABC, BC = 16 e h = 8 (relativa a BC). Calcule a razão AB/AC sabendo que ela é máxima.
a) 2
b) 3
c) 3/2
d) 4/3
e) NRA
Inicialmente, desenhe um triângulo qualquer ABC de base BC. Por conseguinte, trace a bissetriz interna e a bissetriz externa do vértice A; considere M o pé da bissetriz interna e N o pé da bissetriz externa.
Sabemos que: as bissetrizes interna e externa que partem de um mesmo vértice de um triângulo dividem harmonicamente (Divisão Harmônica) o lado oposto na mesma razão dos lados adjacentes.
Ou seja,
Onde
Ademais, já que e os pontos M e N são conjugados harmônicos do segmento AB na razão k, o círculo de diâmetro MN será o lugar geométrico dos pontos A tais que .
Obs.: o referido círculo de diâmetro MN é conhecido como CÍRCULO DE APOLONIUS!!
Com efeito, de (i) - bissetriz interna:
Mas, de acordo com o enunciado, . Daí,
Assim,
Com efeito, de (i) - bissetriz externa:
Mas, .
Portanto,
Então, temos que o diâmetro MN é dado por:
Por fim, como a base de um triângulo retângulo é sempre maior ou igual a sua altura, tiramos que:
Resolvendo a desigualdade acima concluímos que:
Daí, como k deve ser máximo, temos que:
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