Material de apoio - Integral Imprópria

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Material de apoio - Integral Imprópria

Mensagem  danjr5 em Dom 08 Maio 2016, 20:52

INTEGRAL IMPRÓPRIA


 Trata-se de uma integral definida onde o intervalo é infinito e também tem uma descontinuidade infinita.

TIPO I: intervalos infinitos.

é uma região que está sob a curva , acima do eixo e a direita da reta . Poderíamos pensar que: assim como tem extensão infinita, sua área também; todavia, não é o que acontece, vejamos o gráfico abaixo:





Como podemos notar, não importa quão grande seja , .

Vale destacar que .

Isto é, a área da região se aproxima de quando . Daí, .

Definição:

(a) Se existe para cada número , então desde que o limite exista.


(b) Se existe para cada número , então desde que o limite exista.


As integrais impróprias e são chamadas convergentes se os limites correspondentes existem, e divergentes se os limites não existem.


(c) Se e são constantes, então definimos:




TIPO II: integrandos descontínuos

Não por coincidência essa integral é do tipo II; assim como no cálculo de área de uma região qualquer, aqui a área é dada verticalmente.
Caso A(t) se aproxime de um número definido A quando , então dizemos que a área da região S é A e escrevemos:





Definição:

(a) Se é contínua em e descontínua em , então se esse limite existir.


(b) Se é contínua em e descontínua em , então se esse limite existir.


A integral imprópria é chamada convergente se o limite correspondente existir e divergente se o limite não existir.


(c) Se tiver uma descontinuidade em , onde , e ambos e forem convergentes, então definimos .

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