Material de apoio - Integral Imprópria

INTEGRAL IMPRÓPRIA

Trata-se de uma integral definida onde o intervalo é infinito e também tem uma descontinuidade infinita.

TIPO I: intervalos infinitos.

$S$ é uma região que está sob a curva $y = \frac{1}{x^2}$ , acima do eixo $x$ e a direita da reta $x = 1$ . Poderíamos pensar que: assim como $S$ tem extensão infinita, sua área também; todavia, não é o que acontece, vejamos o gráfico abaixo:

Material de apoio - Integral Imprópria Erzb5e

$\\ A(t) = \int_{1}^{t} \frac{1}{x^2} \, dx \\\\\\ A(t) = \left [ - \frac{1}{x} \right ]_{1}^{t} \\\\\\ A(t) = 1 - \frac{1}{t}$

Como podemos notar, não importa quão grande seja $t$ , $A(t) < 1$ .

Vale destacar que $\lim_{t \to \infty} A(t) = \lim_{x \to \infty} \left ( 1 - \frac{1}{t} \right ) = 1$ .

Isto é, a área da região $S$ se aproxima de $1$ quando $t \to \infty$ . Daí, $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2} \, dx = \lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{x^2} \, dx = 1$ .

Definição:

(a) Se $\int_{a}^{t} f(x) \, dx$ existe para cada número $t \geq a$ , então $\int_{a}^{\infty} f(x) \ dx = \lim_{t \to \infty} \int_{a}^{t} f(x) \ dx$ desde que o limite exista.

(b) Se $\int_{t}^{b} f(x) \ dx$ existe para cada número $t \leq b$ , então $\int_{- \infty}^{b} f(x) \ dx = \lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{b} f(x) \ dx$ desde que o limite exista.

As integrais impróprias $\int_{a}^{\infty} f(x) \ dx$ e $\int_{- \infty}^{b} f(x) \ dx$ são chamadas convergentes se os limites correspondentes existem, e divergentes se os limites não existem.

(c) Se $\int_{a}^{\infty} f(x) \ dx$ e $\int_{- \infty}^{b} f(x) \ dx$ são constantes, então definimos:

$\ \int_{- \infty}^{\infty} f(x) \ dx = \int_{- \infty}^{a} f(x) \ dx + \int_{a}^{- \infty} f(x) \ dx, \ a \in \mathbb{R}.$

TIPO II: integrandos descontínuos

Não por coincidência essa integral é do tipo II; assim como no cálculo de área de uma região qualquer, aqui a área é dada verticalmente.
Caso A(t) se aproxime de um número definido A quando $t \to b^-$ , então dizemos que a área da região S é A e escrevemos:

$\int_{a}^{b} f(x) \ dx = \lim_{x \to b^-} \int_{a}^{t} f(x) \ dx.$

Material de apoio - Integral Imprópria 1zb40th

Material de apoio - Integral Imprópria 1zb40th

Definição:

(a) Se $f$ é contínua em $[a, b)$ e descontínua em $b$ , então $\int_{a}^{b} f(x) \ dx = \lim_{x \to b^-} \int_{a}^{t} f(x) \ dx$ se esse limite existir.

(b) Se $f$ é contínua em $(a, b]$ e descontínua em $a$ , então $\int_{a}^{b} f(x) \ dx = \lim_{x \to a^+} \int_{1}^{b} f(x) \ dx$ se esse limite existir.

A integral imprópria $\int_{a}^{b} f(x) \ dx$ é chamada convergente se o limite correspondente existir e divergente se o limite não existir.

(c) Se $f$ tiver uma descontinuidade em $c$ , onde $a < c < b$ , e ambos $\int_{a}^{c} f(x) \ dx$ e $\int_{c}^{b} f(x) \ dx$ forem convergentes, então definimos $\int_{a}^{b} f(x) \ dx = \int_{a}^{c} f(x) \ dx + \int_{c}^{b} f(x) \ dx$ .