[UERJ/2024.1] Matemática Financeira: juros compostos

Os clientes de um banco podem realizar apenas duas operações financeiras:

- fazer investimentos que rendem juros compostos a uma taxa mensal de 1%; ou
- pegar empréstimos com juros compostos a uma taxa mensal de 5%.

O banco usa o dinheiro dos investimentos para conceder os empréstimos, obtendo lucro nessas transações. Considere que um cliente X investiu R$ 1.000,00 e que o banco emprestou esse valor a um cliente Y. Após 12 meses, o cliente X recebeu o montante pela aplicação nesse período e Y quitou o empréstimo. Admitindo (1,01)¹² = 1,13 e (1,05)¹² = 1,80, o lucro, em reais, obtido pelo banco com essas duas operações financeiras é igual a:

(A) 470
(B) 520
(C) 670
(D) 820

Questão escreveu:Os clientes de um banco podem realizar apenas duas operações financeiras:

- fazer investimentos que rendem juros compostos a uma taxa mensal de 1%; ou
- pegar empréstimos com juros compostos a uma taxa mensal de 5%.

O banco usa o dinheiro dos investimentos para conceder os empréstimos, obtendo lucro nessas transações. Considere que um cliente X investiu R$ 1.000,00 e que o banco emprestou esse valor a um cliente Y. Após 12 meses, o cliente X recebeu o montante pela aplicação nesse período e Y quitou o empréstimo. Admitindo (1,01)¹² = 1,13 e (1,05)¹² = 1,80, o lucro, em reais, obtido pelo banco com essas duas operações financeiras é igual a:

(A) 470
(B) 520
(C) 670
(D) 820

De acordo com o enunciado, as operações são realizadas por meio do sistema de Juros Compostos. Vale lembrar que:



Onde "M" é o montante, "C" é o capital, "i" a taxa e "n" o prazo/tempo.

Posto isto, podemos encontrar o juro recebido pelo cliente X e, também, o juro pago pelo cliente Y. Segue:


INVESTIMENTO: cliente X

Capital (C): R$ 1.000,00
Prazo (n): 12 meses
Taxa (i): 1% a.m
Montante (M): ?



Ou seja, o cliente X recebeu R$ 1.130,00 do banco.


EMPRÉSTIMO: cliente Y

Capital (C): R$ 1.000,00
Prazo (n): 12 meses
Taxa (i): 5% a.m
Montante (M): ?



Isto é, o cliente Y pagou R$ 1.800,00 para o banco.


Por fim, como o banco pagou R$ 1130,00 para o cliente X e recebeu R$ 1800,00 do cliente Y, seu lucro foi de: