[CECIERJ/2022 - Tutor PVS] Polinômio

Considere o polinômio p(x) = x³ + bx² + cx + d com coeficientes reais. Se p(2 + i) = p(3) = 0, então p(1) vale

a) - 4

b) - 3

c) - 2

d) 39

e) 40

Gabarito:

Questão escreveu:Considere o polinômio p(x) = x³ + bx² + cx + d com coeficientes reais. Se p(2 + i) = p(3) = 0, então p(1) vale
a) - 4
b) - 3
c) - 2
d) 39
e) 40

Gabarito:

O grau do polinômio p é três. Quando p(x) = 0, temos uma equação do 3º grau, portanto, possui três raízes.

De acordo com o enunciado, p(2 + i) = P(3) = 0. Isto implica que 2 + i e 3 são raízes dessa equação! Para solucionar essa questão precisamos conhecer a outra raiz da equação. Pois bem! Sabe-se que: se uma equação tem como raiz um número complexo, então seu conjugado também é uma raiz.

Posto isto, o conjunto-solução da equação x³ + bx² + cx + d = 0 é: .

Com efeito,



Isto é, .

Por fim,





Vale lembrar:

Seja z = a + bi um número complexo qualquer. Temos que o seu conjugado é: